y＝2xに関して、直線3x＋y＝15の対称な直線の方程式をもとめよ。教えてください、

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質問者：もも娘
質問日時：2017/05/31 18:22
回答数：3件

y＝2xに関して、直線3x＋y＝15の対称な直線の方程式をもとめよ。

教えてください、

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No.3

回答者： guunagoona2015
回答日時：2017/06/01 13:50

軌跡の問題を解く方法で・・・

求める直線上の点の座標をＰ(X, Y) とする。
また、直線 3x+y=15 上の点の座標をＡ(a, b) とすると
3a+b=15
b=-3a+15　･････ ①

2 点Ｐ，Ａが、直線 y=2x に関して対称であるとすると
線分ＰＡの中点 ((X+a)/2, (Y+b)/2) は直線 y=2x 上の点だから
(Y+b)/2=2･(X+a)/2
2X-Y=-2a+b
① を代入して
2X-Y=-2a-3a+15
2X-Y=-5a+15　･････ ②

直線ＰＡは直線 y=2x に垂直だから
{(Y-b)/(X-a)}･2=-1
X+2Y=a+2b
① を代入して
X+2Y=a+2(-3a+15)
X+2Y=-5a+30　･････ ③

②-③ より
X-3Y=-15
-3Y=-X-15
Y=(1/3)X+5

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No.2

回答者： horahukisann2017
回答日時：2017/06/01 00:16

すこし曖昧な説明になりそうです。

きれいな図を描いて、それを見ながら考えてみてください。

直線 3x + y = 15 は、点(5, 0), 点(0, 15) を通る。この 2 点を真っすぐにつなげば、3x + y = 15 になります。

この二点A(5, 0), B(0, 15) の、 y = 2x に関して対称な点を求めてみます。

点(5, 0) から直線 y = 2x に垂線を下ろします。この垂線の足(H1)は (t, 2t) で表せます。

直線 y = 2x の方向ベクトル l1 = (t, 2t), AH1 のベクトル n1 = (5 -t, 0 -2t) として、これが垂直の関係にあると考えます。

l1・n1 = t(5 - t) + 2t(-2t) = 0

5t (1 - t) = 0, t = 0 or 1 となります。

t = 1 とすると、H1(1, 2), n1 = (4, -2) となります。

目的とする。点A(5, 0) の直線 y = 2x に関する対称点を A'(p1, q1) とすれば、

(p1, q1) + 2n1 = (5, 0)

(p1, q1) = (5 - 2・4, 0 - 2(-2)) = (-3, 4)

となります。

同様にして、点(0, 15) の直線 y = 2x に関する対称点を B'(p2, q2) を求めれば、

l2 = (t, 2t)
n2 = (-t, 15 - 2t)

これの内積 0 から、5t(6 - t) = 0

t = 6 のとき、H2 = (6, 12), n2 = (6, -3)

B'(p2, q2) = B - 2n2 = (0 + 12, 15 - 6) = (12, 9)

となります。

二点A'B'をとおる直線は

y - 4 = (9 - 4)/(12 - (-3))・(x - (-3))

y = (1/3)・x + 5

となります。

これでよいでしょうか。