常微分方程式に関する質問です。 つぎの連立方程式を解いてください。 t・(dx/dt)+y=t t・

常微分方程式に関する質問です。
つぎの連立方程式を解いてください。
t・(dx/dt)+y=t
t・(dy/dt)-x=1/t

この問題なのですが、どうしても分かりません。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/08/02 10:21

途中（x(t)の特殊解を出すところ）まで書いてみました。

まずは、t・(dx/dt)+y=tを両辺微分してdy/dtをxを使った式で表して、第２式に代入します。

そして、x=at+b/tとおいて、定数a,bの値を求めれば、基本解が出てきます。

そして、p(t)=x(t)+t/2-1/(2t)とおいてやると、p(t)の変数係数2階線形同次微分方程式が出てくるはずです。

そのp(t)についてはwolfram alphaを使って計算しました。

すると、画像の一番下の解が出てきます。p(t)の計算については自分でまずはやってみてください。

x(t)=Acos(logt)+Bsin(logt)+t/2-1/(2t)と出てくるはずです。(A,Bは定数)
そして、１番目の式にx(t)を代入すると、y(t)=Asin(logt)-Bcos(logt)+t/2-1/(2t)と出てきます。

この回答へのお礼

凄く丁寧な回答ありがとうございます！
最初のくだりが分からなかったので、助かりました！

お礼日時：2017/08/02 17:34