a= と し；

x^4+2*a*x^2-a+2=0が実数解をもたないようなａの範囲を求めて下さい。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2017/10/03 15:10

随分簡単なご質問なのに放置プレイかな？

　二次方程式
　　y^2+2*a*y-a+2 = 0
が少なくとも１個の非負の実数解を持つことと、ご質問の方程式が少なくとも１個の実数解を持つこととは同値。この二次方程式の解をu,v、判別式を
　　D = a^2+a-2
とすると
　　u = -a+√D, v=-a-√D
であり、これらが実数になるaの範囲は
　　D≧0
より
　　{a|a≦-2}∪{a|1≦a}
と分かる。aがこの範囲にあるときにu（大きい方の解）が非負である条件は、
　　u≧0
すなわち
　　√D≧a
これはa<0の場合には必ず満たされるが、一方、a≧0の場合には両辺を2乗して
　　D≧a^2
すなわち
　　a≧2
である。
　まとめると、冒頭の二次方程式に少なくとも１つの非負の実数解が存在するようなaの範囲、すなわち、ご質問の方程式が実数解を持つようなaの範囲は
　　{a | |a|≧2 }
なので、ご質問の答はこの補集合
　　{a | |a|<2 }
ということになる。

　ところで、aが複素数の場合にはどうなのか。
　　a = p+iq　(p,qは実数)
とする。
　　x^4+2(p+iq)x^2-(p+iq)+2=0
を満たす実数xが存在するならそれは連立方程式
　　x^4+2px^2-p+2=0　…(1)
　　(2x^2-1)q=0　…(2)
の解でなくてはならない。(1)が実数解xを持つ条件は、既に見たように
　　p∈{a | |a|<2 }
であり、さらにこの解xが(2)を満たすための条件は
　　q=0 ∨ x^2 = 1/2
である。ところが
　　x^2 = 1/2
のとき、(1)の左辺は
　　(1/2)^2+2*p*(1/2)-p+2 = 1/4+2
となるから、(1)を満たすことはできない。なので、(1)(2)を満たす実数xが存在するためにはq=0でなくてはならず、すなわちaの範囲は実数に限られる。