簡単な三角方程式の基礎的な質問です。

sin2θ=sinθを解け。ただし、0°≦θ<360°とするといった問題です。
加法定理より2sinθcosθ=sinθ　⇔　sinθ(2cosθ-1)=0　⇔　２cosθ-1=0･･･A　またはsinθ=0･･･B
より答えは60°と300°（条件Aより）、0°と180°（条件Bより）
また、EXCELにてsin2θとsinθをグラフにしても確かに上記の通りです。

ところが、途中の式2sinθcosθ=sinθ･･･C　から、sinθを消去すると、2cosθ=1となり、
これを満たすθは60°または300°のみとなり、0°と180°が消えてしまいます。
上記のC式で両辺にsinθが入っているので、sinθを消去してと言うのが問題でしょうか。

いつもは回答側に立っているものですが、ふとしたことで、方程式の根本的な考えを見失ったようです。すみませんが、基本的なところから教えて頂けないでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2017/11/19 14:14

０で割るというのは定義されていません。

よってsinθを消去したいなら場合分けが必要だと思いますよ。

2sinθcosθ=sinθ・・・①について
イ　sinθ≠0のとき　両辺をsinθで割って（消去して）　
２cosθ＝１・・・（以下省略）

ロ 　sinθ=0のとき　等式①が成り立つ

以上から　cosθ=1/2 または　sinθ=0
こんな感じです。
つまりは、kenzou03さんが示してくれた2番のやり方では、
sinθ=0の場合を見落としているために不正解になってしまうのです。

この回答へのお礼

非常に重要なアドバイスありがとうございました。0では割れない事実非常に重要だと思います。

また、確かに場合分けが重要でした。
イ　sinθ=0　かつ　2cosθ-1=0の場合、0°　または　180°
ロ　sinθ=0　かつ　2cosθ-1≒0の場合、0°　または　180°
ハ　sinθ≒0　かつ　2cosθ-1=0の場合、60°　または300°
ニ　sinθ≒0　かつ　2cosθ-1≒0の場合、sinθ(2cosθ-1)=0を満たすθが存在しない。

かなり回りくどいのと、場合訳が非効率ではありますが、確かにそうなりました。
ベン図画得意だったら簡単なのかも知れませんが。

お礼日時：2017/12/02 18:07

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/23 19:13

方程式を求めるときと混同されているように思います。

その時は、定数項で、例えば、3とかー2などの決まった数のときですが、今回は、
sinθは、1≧sinθ≧ー1という変数ですから、消去はできず、前の段階の式で終わりますから、sinθ=0または………となります。

この回答へのお礼

確かにおっしゃる通りです。
例えば3(2cosθ-1)=0の場合、実数3はゼロではないので、割ることが出来ます。
しかし、sinθ(2cosθ-1)=0の場合、-1≦sinθ≦1であり、0の可能性があるため0でない限り割ることが出来ないということがやっと整理出来ました。
従って、sinθ=0　または　2cos-1=0　を満たすθが方程式の解になることを理解出来ました。

お礼日時：2017/12/02 18:19

No.4 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/11/19 14:53

素人ですが少し冷静になりませんか？

質問内容を内容をよく見てみましたが、記述されている内容は、正解だし立派な回答だと思います。
しかし、①sinθ、cosθの項が入った両方の解を求めているのに対し②は単純にcosθ=1/2の解。sinθの要素を抜いているので当然かと思います。単細胞が考えたことなので参考まで。

この回答へのお礼

回答有難うございます。
確かに片方を無視していました。
sinθ(2cosθ-1)=0が成り立つためには、sinθ=0、2cosθ=0のいずれかの条件が必要でした。

お礼日時：2017/12/02 18:08

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2017/11/19 13:54

＞sinθを消去してと言うのが問題でしょうか。

そうですね。勝手に消去出来る筈はありませんね。
sinθを消去できるのは、sinθ≠0 のときだけですから、
sinθ＝0 の時の答も必要になりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。何となくわかってきました。

お礼日時：2017/11/23 15:54

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/11/19 12:37

ｘの方程式、

x(x - 2)=0.
を解くとき、「両辺をｘで割る」などとはいきません。x=0 ならどうしますか？

この回答へのお礼

回答有難うございます。確かにその通りです。この場合の解答はx=0またはx=2となります。

お礼日時：2017/11/23 15:51