0≦θ<2πのとき、不等式sin2θ+sinθ>0を解け。という問題なんですけど、答えは0<θ<2/

0≦θ<2πのとき、不等式sin2θ+sinθ>0を解け。という問題なんですけど、答えは0<θ<2/3π、π<θ<4/3πです。
これを解いたとき、(sinθ>0かつcosθ>-1/2)または(sinθ<0かつcosθ<-1/2)を考えてといたんですけど、
sinθ>0のとき0<θ<π、cosθ<-1/2のとき0≦θ<2/3π,4/3π<θ<2πとなりました。この共通範囲を求めたとき、0≦θ<2/3πとなりました。
なんで答えは、≦ではなく、<なのか教えてほしいです。

No.3 回答者： なか_なか_なか_なか 回答日時： 2018/08/12 20:35

sinθの方は0を含まず，cosθの方は0を含む，「かつ」で，ともに満たす範囲は，0は含まずとなります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/12 13:55

cosθ<-1/2のとき0≦θ<2/3π,4/3π<θ<2π・・・これは？単なる＜＞の勘違いですね。

きっと
正しくは
cosθ<-1/2は2π/3<θ<4π/3のとき
cosθ＝-1/2はθ=2π/3,4π/3のとき
cosθ<-1/2は0≦θ<2/3π、4/3π<θ<2πのとき　だから
sin2θ+sinθ=2sinθcosθ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)>0において
(sinθ>0かつcosθ>-1/2)→0<θ<π・・・①かつ0≦θ<2/3π,4/3π<θ<2π・・・②
共通範囲は0<θ<2/3π
θ=0は②の範囲内ですが①の範囲外です。したがって①②の両方に共通ではないので
≦ではなく、<

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/08/12 13:50

> sinθ>0のとき0<θ<π、cosθ<-1/2のとき0≦θ<2/3π,4/3π<θ<2π

①sinθ>0のとき0<θ<π、②cosθ【＞】-1/2のとき0≦θ<2/3π,4/3π<θ<2πではないかと思われるのだが、それはさておき・・・

①と②の両方を満たす共通範囲を求めるのであれば、②だけにしか含まれなくて①には含まていないθ＝0は、解として不適切であるのは自明であると思うのだが・・・。