お願いします！ △ABCにおいて、3辺の長さをAB＝a−2、BC＝a、CA＝a＋2とする。△ABCの

お願いします！
△ABCにおいて、3辺の長さをAB＝a−2、BC＝a、CA＝a＋2とする。△ABCの１つの内角が１２０度であるとき、aの値と△ABCの面積を求めよ。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/17 23:37

余弦定理より

(a+2)^2=a^2＋(aー2)^2ー2・a・(aー2)・cos120°
∴ 8a=a^2ー2a(aー2)(ーsin30°)
∴ 8a=a(aー2) a=0でないから、
∴a=10

よって、S=(1/2)(aー2)a・sin120°=8・10・sin60°・(1/2)=20√3

No.2 回答者： bilateraria165 回答日時： 2018/01/17 23:49

もっとスマートな解き方がある気がしますが、ゴリゴリ計算してやった結果が下記の通りです。

まず三辺の長さの関係から∠ABC=120°と言えます。
（鈍角三角形の性質上、長辺の向かいの角が鈍角のため）
すると三角形の内角の和180°のため、∠BAC+∠BCA=60°となります。
以降、∠BAC=A、∠BCA=C、∠ABC=Bとします。

★aの求め方
正弦定理を利用すると、
CA/sinB=BC/sinA=AB/sinC
⇄(a+2)/sin120°=a/sinA=(a-2)/sin(60°-A)
という等式が得られます。ここから以下の２式に書き出します。
(a+2)/sin120°=a/sinA・・・①
a/sinA=(a-2)/sin(60°-A)・・・②
①②はaとAについての連立方程式になるので、これを解いていきます。

①から、sinA=√3a/(2a+4)・・・③が得られます。
②を変形すると、
a sin(60°-A) = (a-2) sinA
左辺は三角関数の加法定理を使用して下記となります。
（左辺）=a(sin60°cosA-cos60°sinA)=a{(√3/2)cosA-(1/2)sinA}
③を代入して、cosAについて解いてやると、下記となります。
cosA=(3a-4)/(2a+4)・・・④

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
の関係から、上式に③④を代入して整理すると、
a(a-5)=0
が得られます。a>0のため、a=5となります。

なお、鈍角三角形の性質上、CA^2>AB^2+BC^2という関係があります。
計算は省略しますが、この不等式を解くと0<a<8が得られ、上記のaの値にも合います。


★△ABCの面積の求め方
a=5のため、AB=3、BC=5、CA=7が求まります。
面積の導出にはsinを用いた三角形の面積公式を利用します。
△ABC=(1/2)AB・BC・sinB=(1/2)=(15√3)/4
となります。

No.3 ベストアンサー 回答者： bilateraria165 回答日時： 2018/01/17 23:59

No.2です。

No.1さんの計算の通り、aの導出には余弦定理を使った方が確かに速いです。
が、No.1さんの計算は途中で誤ってますね。

余弦定理より
(a+2)^2=a^2＋(aー2)^2ー2・a・(aー2)・cos120°
⇄a^2+4a+4=a^2+(a^2-4a+4)-2a(a-2)(-1/2)
⇄2a^2-10=2a(a-5)=0
a>0のため、a=5となります。

面積の計算は私の計算の通りです。