正三角形の角の三等分線に関する問題です

１辺６ｃｍの正三角形ＡＢＣがあります。∠Ａの三等分線と辺ＢＣとの交点をＢに近いほうからＤ、ＥとするとＤＥは何ｃｍになるかという問題です。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 1辺６ｃｍの正三角形ＡＢＣにおいて∠Ｂ、∠Ｃそれぞれの二等分線と∠Ａの三等分線（2本）で囲まれた図形の面積をもとめたい。これが課題になります。

  
    補足日時：2018/01/27 16:32

No.5 ベストアンサー 回答者： sisido166 回答日時： 2018/01/29 08:52

２番・４番で回答した者です。

お礼欄読みました。

私も、この問題を中学生の範囲で解くにはちょっと無理があるのではないかと思います。
前回の別回答としては、GからAHに引いた垂線の長さを出して面積を求める方法もありますが、その垂線の長さを出すのが中学生の範囲では容易では無いでしょうから。
これが仮に、HG:GE＝1:2なのであれば、全体の面積の何分の何方式で答えが出せるのですが、問題作成者がHG:GE＝1:2にしたくて誤ってAの角を三等分という表現にしてしまったという可能性ももしかしたらあるのではないかと思います。

この回答へのお礼

何回もありがとうございます。問題を持ってきた中学生に聞いてみました。説明を聞いてみるとやはり角の３等分線は底辺を３等分すると勘違いしていました。私も正三角形という特別な三角形だったので正三角形の時にだけ有効な方法でもあるのかなと考え込んでしまいました。sisido166さんのようにこれは無理だなと断言できなかったわけです。お騒がせしました。

お礼日時：2018/01/30 18:29

No.4 回答者： sisido166 回答日時： 2018/01/28 15:01

２番で回答した者です。

なるほど、そういう課題でしたか。では解き方のヒントだけ。

Aから辺BCに垂線を引くと、BEとCDの交点で交わりますので、これをHとします。すると△AHE(または△AHD)は△ABCの1/6の面積になるのが分かりますね。なので、△AHEから△AGEの面積を引いて２倍すれば赤い部分の面積が出ます。なお、△AGEの面積を出すためにはEGの長さを三角関数を使って求める必要があります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。やはりこの課題は、三角関数を使わないと解決しない問題なのでしょうか。SIN２０°にしろCOS２０°にしろ値がルートの式で表現できれば無限小数を避けることはできますが。。。実はこの課題を持ってきたのは中学生です。中学生が理解できるのは、相似、面積比、重心、平方根、三平方の定理。。。というものなので、三角関数を使わない方法を考えようとしたのですが私にはできませんでした。

お礼日時：2018/01/28 18:50

No.3 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/01/27 16:23

頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をFとすると

F=3√3
DF=xとすると、正弦定理から
x/sin10°=3√3/sin80°
x=3√3sin10°/sin80°=3√3sin10°/sin(90°-10°)
=3√3sin10°/cos10°=3√3tan10°
後は3倍角の公式で何とかなりませんか。
https://mathwords.net/sincostansanbai
もっと簡単な方法が有るかも。（なお角の3等分線は対辺を3等分しません。）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。本当の課題は補足コメントに追加しました。

お礼日時：2018/01/27 16:36

No.2 回答者： sisido166 回答日時： 2018/01/27 16:02

これ、学校の課題か何かですか？それによって答え方が変わってくるのですが。

課題ではなくて「単純に疑問に思った」という事であれば、DEは約1.832ｃｍになります。理由は以下の通りです。
まず、Aから辺BCに垂線を引き、BCとの交点をFとします。△DAFにおいて∠DAF＝10°、∠AFD＝90°、AF＝３√３となるのはお分かりでしょうか。ここで三角関数のタンジェントを利用します。タンジェントというのは、△DAFで言うと、∠DAFの角度がある値だった時の、DFの長さ/AFの長さ、です。ネット上の計算ソフトによると、10°の場合のタンジェントの値は約0.1763ですので、DFの長さをxとすると、0.1763＝x/(3√3)となります。3√3は約5.1961なので、xは(約)0.1763・(約)5.1961＝(約)0.9161となり、これを倍にすれば上記の数値が出ます。あくまでおおよその数値ですが。

結論としては、BE＝DC≠EDとなるので、正三角形においては角の三等分線で面積が三等分される事はない、という事になるでしょう。というよりも、「疑問に思った」だけなら、実際に作図して長さを測れば一目瞭然という気がしますが、いかがでしょうか。

No.1 回答者： yyak1 回答日時： 2018/01/27 12:21

BDもDEもECも同じ長さ。

三角形の面積の求め方は
底辺×高さ÷２　ですからね。
高さは同じなのだから底辺も同じ長さにしなければね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。私が疑問に思うのは、角の三等分線で面積が3等分されるのかなということです。

お礼日時：2018/01/27 12:59