x＞－1がx2乗＋(2－a)x－2a＞0であるための十分条件となるように、定数aの値の範囲を定めよ。

x＞－1がx2乗＋(2－a)x－2a＞0であるための十分条件となるように、定数aの値の範囲を定めよ。

という問題で解説をみても全くわかりませんでした。わかりやすく教えていただけると嬉しいです。m(_ _)m

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/04 21:29

x＞－1がx2乗＋(2－a)x－2a＞0であるための十分条件となるように、定数aの値の範囲を定めよ。

この2次式をf(x)とする。f(x)を次のように変形する。この形を平方完成という。
f(x)= x^2＋(2－a)x－2a=(x+1－a/2)^2－(1－a/2)^2－2a
=(x+1－a/2)^2－(a^2)/4－a－1
するとy= f(x)のグラフは下に凸の放物線で、その最小点の座標は
(－1+a/2，－(a^2)/4－a－1)となる。
図に、この放物線の位置をA,B,Cの３通りに描いた。x軸のx＞－1の領域を太線で描いた。
Aのように放物線の最下点がx軸より上にあれば、f(x)>0となる。
この条件は－(a^2)/4－a－1>0 ①である。この条件は、次のように変形すると、成立することはないことが解る。
－(a^2)/4－a－1>0　→　－a^2－4a－4>0　→　－(a+2)^2>0②
Bのように放物線の最下点がx軸より下にあっても、その位置x=－1+a/2が、
x=－1より左にあって、放物線がx軸の太線にひっかからなければ、f(x)>0となる。
最下点がx=－1より左にある条件は－1+a/2<－1 ③で、太線にひっかからないためにはf(－1)>0④である。
③の条件は－1+a/2<－1よりa<0である。
④の条件はf(－1)=－a－1>0， a<－1となる。
Cのように太線にひっかかれば、その部分でf(x)≦0となり条件に反する。
答えはa<－1となる。
検算：限界のa=－1を調べてみると、次になる。
f(x)=x^2＋3x＋2=(x+1)(x+2)<0
これは－2≦x≦－1でf(x)≦0となり、ちょうどBの位置になり、太線にひっかかる限界である。