ラプラス変換を用いた微分方程式の解法 F’(s)=-L[t*f(t)]を用いて、 t*f’’+(3t

ラプラス変換を用いた微分方程式の解法


F’(s)=-L[t*f(t)]を用いて、
t*f’’+(3t+1)f’+(2t+1)f=0を求めよ。
ただし、f(0)=2,f’(0)=-2とする。
という問題なのですが、ラプラス変換をしてF(s)を出したところ、
F(s)=C(s+2)となってしまい、逆ラプラス変換ができなくなってしまいました。
どのようにすれば解けるようになるでしょうか。教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2018/05/23 21:10

t*f"+(3t+1)f'+(2t+1)f=0　　f(0)=2,f’(0)=-2

両辺をラプラス変換すると
ℒ{tf"}+3ℒ{tf'}+ℒ{f'}+2ℒ{tf}+ℒ{f}＝0

ℒ{tf"}＝-d(ℒ{f"})/ds＝-d{s²F(s)-sf(0)-f'(0)}/ds＝-d{s²F(s)-2s+2}/ds＝-{2sF(s)+s²F'(s)-2}
ℒ{tf'}＝-d(ℒ{f'})/ds＝-d{sF(s)-f(0)}/ds＝-d{sF(s)-2}/ds＝-{F(s)+sF'(s)}
ℒ{tf}＝-d(ℒ{f})/ds＝-dF(s)/ds＝-F'(s)

原式に代入
-{2sF(s)+s²F'(s)-2}-3{F(s)+sF'(s)}+{sF(s)-2}-2F'(s)+F(s)＝0
-(s²+3s+2)F'(s)-(s+2)F(s)＝0

∴F'(s)/F(s)＝-(s+2)/(s²+3s+2)＝-1/(s+1)

log{F(s)}＝-∫{1/(s+1)}ds＝-log(s+1)
F(s)＝1/(s+1)

計算ミスってなければ・・!

この回答へのお礼

よく分かりました！
ありがとうございます。

お礼日時：2018/05/29 15:00

No.1 回答者： あつしノリノリ 回答日時： 2018/05/23 13:57

大学の先生に質問したほうが良いと思います。