経路積分に関係した計算法がわからずに困っています

数学専攻のポスドクです。

中原幹夫著「理論物理学のための幾何学とトポロジー Ⅰ」の3ページに、
「いま、ハミルトニアンが、
H=p^2/(2m)+v(q)という形をしているとしよう。

すると、<q_(i+1)|q_i>=δ(q_(i+1)-q_i)および
<q|p>=e^(ipq)/√(2π)から、
<q_(i+1)|H(p, q)|q_i>≅<q_(i+1)|p^2/(2m|)q_i>+V((q_(i+1)＋q_i)/2)δ(q_(i+1)-q_i)
=∫dp/(2π)・(H(p, (q_(i+1)+q_i)/2))e^(i(q_(i+1)-q_i)p)
が得られる。ここで、完全性関係
∫dp/(2π)・|p, t><p, t|=1
を用いた。」
という記述があります。数学的にはpにもqにも固有値、固有ベクトルは存在しないので、上式は意味不明です。物理学者の常識を用いて計算しているのだと思うのですが、どうもうまくいきません。
<q_(i+1)|p^2/2m|q_i>+V((q_(i+1)+q_i)/2))δ(q_(i+1)-q_i)
=∫dp/(2π)・(H(p, (q_(i+1)+q_i)/2)e^(i(q_(i+1)-q_i)p)
の等号の導き方だけがわからないのですが、この等式の導出を教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： phyonco 回答日時： 2018/06/15 15:45

pとqはエルミート演算子なので、実数固有値を持ち、それに属する固有ベクトルが存在します。

|p, t>は、（ハミルトニアンの中にある）演算子pの（完全性関係や平面波の座標表示に出てくる）固有値pに属する固有関数です。最後の式の導出では、
δ(q_(i+1)-q_i) = ∫dp/(2π) e^(i(q_(i+1)-q_i)p)
を使っています。

この回答へのお礼

そこまでは私にもわかっています。その続きを教えてもらえませんか？

話は変わりますが、エルミート演算子は、実固有値をもつ、という思い込みは物理学者の誤った思い違いです。pもｑも固有値は持たないのです。あなたが数学者なら、そんなことは常識でしょうが、残念ながらわかっていないようですね。
物理量は「自己共役作用素」でないといけないのです。それと、物理量は固有値ではなく、「スペクトル」という集合の要素です。物理学者はエルミート作用素と自己共役作用素の違いがわかっていないので、私から見たら、お笑いの間違いを犯しています。
ちなみに、自己共役作用素のスペクトルは実数の中の閉集合であることがわかっていますが、エルミート作用素のスペクトルは、複素数を値に持つことがあるので、エルミートであるが、自己共役ではない演算子は、物理量になることができないのです。

お礼日時：2018/06/15 18:15

No.2 回答者： phyonco 回答日時： 2018/06/16 01:50

それは失礼しました。

そういえばポスドクと書いてありましたね。

物理屋が教わるのは、連続固有値の場合でデルタ関数を使った規格化を使用する場合には、厳密に言えば固有ベクトルがヒルベルト空間に入らないので有界な場合の議論をそのままでは使えないが、超関数の意味で空間を考えておけばヒルベルト空間の場合と同じ扱いでよろしい。そういう難しい話は荒木 不二洋先生に任せておけば良いので、君達は遷移確率の計算に専念しなさい。それで、自分の計算した遷移確率が実験を再現しない場合が無いので、安心してpやqを「エルミート」と呼んで自己共役の扱いをするわけです。そういう意味では、私はあなたの質問に答えられる立場にありませんが、中原さんの本は「理論物理学のための」というタイトルなので、物理屋の理解がどういうものであるか分かっておられるのであれば、その視点で式の導出くらい理解出来るのではないでしょうか。

話は違いますが、経路積分が数学者からみて胡散臭く見える（実際にどこかにごまかしがあるかも知れない）のは、そこの部分ではなく、qの分割を無限小に持って行くところだと思います。そんな極限が存在するのか、その場合の積分の測度は何なのか、何か数学者としてお考えがあれば教えていただきたいものです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

経路積分の数学的アプローチについての本は自宅にあるので、（今入院しているのです。）調べてみます。

お礼日時：2018/06/16 05:43

No.3 回答者： phyonco 回答日時： 2018/06/16 02:32

もしかして、そういう高尚な話じゃなくて、

<q_(i+1)|p^2/2m|q_i>　(中身のpは演算子)
= ∫dp <q_(i+1)|p^2/2m |p, t><p, t|q_i>　（|p, t>はpの固有状態だから）
= ∫dp <q_(i+1)|p, t> p^2/2m <p, t|q_i>　（p^2のpは実数）
= ∫dp/(2π)・ p^2/2m e^(i(q_(i+1)-q_i)p)　
と、
<q_(i+1)|V(q)|q_i>
≅ V((q_(i+1)＋q_i)/2) <q_(i+1)|q_i>
= V((q_(i+1)＋q_i)/2) δ(q_(i+1)-q_i)
を使えば
<q_(i+1)|H(p,q)|q_i> 　（Hの中は演算子）
≅ ∫dp/(2π)・ [p^2/2m + V((q_(i+1)＋q_i)/2)] e^(i(q_(i+1)-q_i)p)　（[]の中は実数）
= ∫dp/(2π)・ H(p, (q_(i+1)＋q_i)/2) e^(i(q_(i+1)-q_i)p)　（Hの中は実数）
と書けるところで躓いた？
また失礼だったらごめんなさい。

この回答へのお礼

そこまでは自分で計算しました。
その続きはどうなるでしょうか？

お礼日時：2018/06/16 05:48