内接する四角形の半径などの求め方がわからなくて困っています。

添付画像は円0に内接する四角形ZYXW
ZY = 4
YX = 2
XW = 2
WZ = 3
ZX = a

1. Y+W = 180°であるから、cosY+cosW = 0である。余弦定理を利用するとaの値はなんですか？
2. sinYの値はなんですか？
3. 円Oの半径はなんですか？
4. △ZYXと△ZXWの面積比はなんですか？
5. △ZYXの内接円の半径と△ZXWの内接円の半径の比はなんですか？

なお、私の計算結果は下記となります（1, 4, 5しかできていませんし、合っているかわかりません）。

1. Y+W = 180°より、cos∠W = -cos∠Y
△ZYXより、
a^2 = 4^2+2^2-2x4x2xcos∠Y
a^2 = 16+4-16cos∠Y
a^2 = 20-16cos∠Y
△ZXWより、
a^2 = 2^2+3^2-2x2x3xcos∠W
a^2 = 4+9-12x(-cos∠Y)
a^2 = 13+12cos∠Y

13+12cos∠Y = 20-16cos∠Y
28cos∠Y = 7
cos∠Y = 1/4

a^2 = 20-16x(1/4)
a^2 = 20-4
a^2 = 16
a = ±4
a > 0より、
a = 4

4. △ZYXより、
s = (4+2+4)/2
= 5
S = √5(5-4)(5-2)(5-4)
= √(5x1x3x1)
= √15

△ZXWより、
s = (2+3+4)/2
= 9/2
S = √(9/2)(9/2-2)(9/2-3)(9/2-4)
= √(9/2)(5/2)(3/2)(1/2)
= √(135/16)
= 3√15/4

△ZYX:△ZXW = √15:3√15/4
= 4√15:3√15
= 4:3

5. △ZYXより、
5r = √15
r = √15/5

△ZXWより、
(9/2)r = 3√15/4
18r = 3√15
r = √15/6

△ZYX:△ZXW = √15/5:√15/6
= 6√15 : 5√15
= 6:5

よろしくお願いします。

No.4 回答者： 六つ五郎 回答日時： 2018/07/27 18:14

その通りです。

私も全問計算したので、それで回答しようとしたのですが、躊躇して取りやめました。
いずれにしても、結果を求める方法は1つではなく、臨機応変に対応できるということですよね。
これからも頑張ってください。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2018/07/27 20:24

No.3 回答者： 六つ五郎 回答日時： 2018/07/27 12:18

間違い、訂正です。

メネラウスの定理→角の二等分線
すみませんです。

No.2 ベストアンサー 回答者： 六つ五郎 回答日時： 2018/07/27 11:42

あなたの回答は、全部正解でした。

4.の面積比はYX=WX=2なので、メネラウスの定理でも求められます。
　同一円周角で∠Zの二等分線が得られます。
2.sinYは(sinY)²+(cosY)²=1を使って計算できますが、
　3 から戻ると正弦定理を利用できます。逆も可能、検算できそう。
　順番通り(sinY)²+(cosY)²=1でやると
　sinY=√(1-(1/4)²
　　　=√(15/16)
　　　=√15/4
です、参考になれば。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

4については角の二等分線でも解けるということを教えていただきありがとうございます。
2については三角比の相互関係で解けることを教えていただきありがとうございます。

なお、3については下記のような感じで良いのでしょうか？
正弦定理より、
a/sinY = 2R
4/(√15/4) = 2R
16/√15 = 2R
2√15R = 16
√15R = 8
R = 8/√15
R = 8√15/15

よろしくお願いします。

お礼日時：2018/07/27 17:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/27 00:44

計算が正しいかどうかは確認してないけど, cos Y がわかれば sin Y もわかるし, そこから円の半径も簡単にわかるのではな

いかなぁ.