線形代数の固有値の問題です。（2）で詰んでます。 固有値が3と0ってのはでたんですけど固有値が0の時

線形代数の固有値の問題です。（2）で詰んでます。
固有値が3と0ってのはでたんですけど固有値が0の時の基底がわかりません。（3）〜（5）に関してはさっぱりなのでヒントだけでもどなたか教えてくれませんか

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/17 23:30

(3)〜(5)に関してはさっぱりなので>

落ち着いて、次のように基礎を復習する。Aを図の式①とする。
　１、固有方程式
固有値とは何か？ベクトルxに行列Aをかけると、Aは3×3行列で、9個の数をかけるので、普通の場合はxと違う方向になる。ところが、xに行列Aをかけても、xの３倍になるだけで、方向が変わらない特別の場合がある。この時、3をAの固有値といい、xを固有ベクトルという。式で書くと
Ax=3x＿＿②
3以外の固有値λもあるので、Ax=λx＿＿③　これを固有方程式という。図の式③を見よ
　２、特性方程式
固有方程式の右辺を移項するとAx－λx＝０。単位行列Iを使って書くと式④となる。
(A－λI)x=０＿＿④　　これも固有方程式である。
これが成立するためには、行列(A－λI)の行列式|A－λI|は０となるので
|A－λI|=０＿＿⑤　これを特性方程式という。図の式⑤を見よ。
特性方程式を解くと、|A－λI|=(1－λ)³+2－3(1－λ)=λ²(3－λ)=0＿＿⑥となり、
三つの固有値λ₁=3，λ₂=0，λ₃=0＿＿⑦が得られる。
　３、固有ベクトル
固有ベクトルを求めるには、固有方程式④を使う。図の式⑧を見よ。ｘを
ｘ=ｔ(a，b，c)とする。(ｔは左肩に付ける記号で、行列やベクトルの転置という。横書きを縦書きに変える記号である。transposedという。ポーズ(位置)を変えたという意味。)
a，b，cを縦に書く。λ＝３の時は、式④は
－2a+b+c=0，a－2b+c=0，a+b－2c=0＿＿⑨の連立方程式になる。図の式⑨を見よ。
a=b=cが解であるが、a=b=c=1/√3＿＿⑩とすると、
規格化条件a²+b²+c²=1＿＿⑪を満足する。
規格化条件⑪は固有ベクトルxの長さを1とする条件で、Pを決めるため必要になる。
長さ1の固有ベクトルx₁が得られた。
x₁=ｔ(1/√3，1/√3，1/√3)＿＿⑪。A x₁=3 x₁=λ₁x₁＿＿⑫
λ＝0の時は、式④は、図の式⑬となる。図を見よ。
a+b+c=0，a+b+c=0，a+b+c =0＿＿⑬の連立方程式になる。式⑬は不定なので、a＝０とすると
ａ=0，ｂ=1，c=－1が解であるがａ=0，ｂ=1/√2，c=－1/√2とすると、
規格化条件a²+b²+c²=1＿＿⑩を満足する。長さ1の固有ベクトルx₂が得られた。
x₂＝ｔ(0，1/√2，－1/√2)＿＿⑭。Ax₂=0x₂=λ₂x₂=0＿＿⑮
固有値は、もう一つλ＝0があり、固有方程式④は、再び
a+b+c=0，a+b+c=0，a+b+c =0＿＿⑬の連立方程式になる。今度はa＝1とすると
ａ=1，ｂ=－1/2，c=－1/2が解であるが、規格化条件のために2/√6をかけて
ａ=2/√6，ｂ=－1/√6，c=－1/√6とすると、規格化条件a²+b²+c²=1＿＿⑩を満足する。
長さ1の固有ベクトルx₃が得られた。
x₃＝ｔ(2/√6，－1/√6，－1/√6)＿＿⑯。Ax₃=0x₃=λ₃x₃=0＿＿⑰
これが(２)の答えである。これで、規格化条件を満足する３個の固有ベクトル
⑪x₁，⑭x₂，⑯x₃が求められた。
　４、直交性とは
ベクトルx₁とx₂の向きが、互いに直角のとき、直角に交わるという意味で、
x₁とx₂は直交するという。
ベクトルx₁=ｔ(a₁，b₁，c₁)とx₂=ｔ(a₂，b₂，c₂)があるとき
ｔx₁x₂= a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂を＿＿⑱をx₁とx₂の内積という。図の式⑱を見よ。
x₁とx₂の順序を変えても変わらない。
ｔx₁x₂=ｔx₂x₁＿＿⑲
x₁とx₂が直交するとき、x₁とx₂の内積は0となる。⑪x₁⑬x₂⑯x₃は内積を計算すると、すべて0で、
tx₁x₂= tx₂x₁=0，tx₁x₃= tx₃x₁=0，tx₂x₃= tx₃x₂=0＿＿⑳となり、すべて互いに直交する。
また規格化条件⑩は内積を使って書くと、
a₁²+b₁²+c₁²= tx₁x₁= 1，a₂²+b₂²+c₂²= tx₂x₂= 1，a₃²+b₃²+c₃²= tx₃x₃= 1＿＿㉑となる。
　５、対称行列の固有ベクトルは直交する。
　(a)定理：Aが対称行列のとき、相異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
式①の行列Aは、その転置行列ｔAと同じで、縦書きを横書きに変えてｔAにしても、ｔA=A＿＿㉒
で変わらない。これを対称行列という。
定理の証明：A x₁=3 x=λ₁ｘ₁＿＿⑫とAx₂=0x₂=λ₂ｘ₂＿＿⑭は成立する。
⑫の両辺にtx₂をかけると、tx₂A x₁= tx₂λ₁x₁=λ₁tx₂x₁＿＿㉓
⑭の両辺にtx₁をかけると、ｔx₁A x₂=ｔx₁λ₂x₂=λ₂ｔx₁x₂＿＿㉔
㉒の両辺に「ｔ」を付けると、左辺のtx₂A x₁はt (tx₂A x₁)=tx₁tA x₂＿＿㉕となり、
㉑を使うとt (tx₂A x₁)=tx₁tA x₂=tx₁A x₂となる。㉒の右辺は変わらない。㉓は㉖となる。
tx₁A x₂=λ₁tx₂x₁=λ₁tx₁x₂＿＿㉖
(註： tを連続して２個付けると、縦書き横書きの入れ替えを2回行うと元に戻り、ttα=αとなる。行列の掛け算のルールは横×縦であるから、t (αβγ)= tγtβtαとなり、カッコをはずすとき、αβγの並び順が逆になる。)
㉖から㉔を辺々引くと
tx₁A x₂－tx₁A x₂=λ₁tx₂x₁－λ₂tx₁x₂
0=λ₁tx₂x₁－λ₂tx₁x₂=(λ₁－λ₂) tx₂x₁＿＿㉗
λ₁≠λ₂ならば tx₂x₁=0＿＿㉘　で、x₁とx₂は直交する。
　(b) 固有値が同じとき
λ₂とλ₃はλ₂=λ₃=0で、同じであるが、a₂，b₂，c₂，a₃，b₃，c₃を決める連立方程式⑩⑮の独立な式が、式⑧より少なくて、融通が利くので、⑬⑯のように適当に選んで、x₁とx₂は直交するようにできる。
(シュミットの直交化法を使ってもよい)
投稿に時間がかかったので、以下はすぐ次に投稿する。一挙解決。
　６、変換行列Pと逆行列を求める

この回答へのお礼

丁寧な解説にとても感謝致します。
じっくり復習して苦手意識がだいぶ解消されました。ありがとうございます

お礼日時：2018/12/19 14:05

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/18 18:56

No.3の続き。

前回の解答で
「⑬⑯のように適当に選んで、x₁とx₂は直交するようにできる。」
は「⑬⑯のように適当に選んで、x₂とx₃は直交するようにできる。」でした。
　６、変換行列Pと逆行列を求める　行列の記号表現が不十分な所は図にした。
直交化、規格化した3個の固有ベクトルを得たら、その3個を並べるとPになる。
P=[ x₁ x₂ x₃]＿＿㉙　図の式㉙を見よ。
次にPの転置行列tPとPを掛けると、興味深い結果になる。
tP P=[ tx₁　[x₁ x₂ x₃] = [ tx₁x₁ tx₁x₂ tx₁x₃ ＿＿㉚　図の式㉚を見よ。
　　　　tx₂　　　　　　　 tx₂x₁ tx₂x₂ tx₁x₃
　　　　tx₃]　　　　　　　tx₃x₁ tx₃x₂ tx₁x₃]
ここで直交条件の式⑳と規格化条件の式㉑を使うと式㉚の右辺の行列要素は、0と1ばかりになり、tP Pは単位行列Ｉになる。
tP P= [ 1 0 0 =Ｉ＿＿㉛　　tP P=Ｉ＿＿㉛　図の式㉛を見よ。
　　　 0 1 0
　　　　0 0 1]
QとPをかけると単位行列になるとき、QをPの逆行列といい、P^‐1と書く。
tPはPの逆行列P^‐1である。
tP= P^‐1=t[x₁ x₂ x₃]　＿＿㉜図の式㉜を見よ。
式㉛㉜が成り立つとき、Pを直交行列という。
これで、(3)のP^‐1が求められた。次に(3)のP^‐1APを計算する。
　７、行列の対角化
まず、APを計算する。式㉙のPを使うと㉝となる。
AP =A[ x₁ x₂ x₃] = [A x₁ A x₂ A x₃]＿＿㉝
固有方程式③または⑫⑭⑰を使うと、㉝は㉞になる。
AP = [λ₁x₁ λ₂x₂ λ₃x₃]＿＿㉞
次にこれに左から㉜のP^‐1=t[x₁ x₂ x₃]をかけたものをDとすると
D=P^‐1AP = t[x₁ x₂ x₃] [λ₁x₁ λ₂x₂ λ₃x₃]＿＿㉟ 図の式㉟㊱を見よ。
　　= [λ₁t[x₁ x₂ x₃] x₁ λ₂t [x₁ x₂ x₃] x₂ λ₃ t[x₁ x₂ x₃] x₃]
ここで、直交条件⑳と規格化条件㉑を使うと、異なるベクトルは直交して、内積は0
同じベクトルの内積(二乗)は長さ1になるので、式㉟は㊱となる。
式㊱は、行列Aの3つの固有値λ₁，λ₂，λ₃が主対角線にあり、その他の要素はすべて0の
行列で、対角行列Dという。変換行列Pを使って、AからD=P^‐1APを作ることを相似変換といい、Aは相似変換により対角化される。これで(3)の答えが出た。逆にAは㊲となる。
A=PAP^‐1＿＿㊲
さらに、行列Aでは固有値λ₁=3，λ₂=0，λ₃=0　なので、㊱は㊳になる。
D=λ₁G=3G＿＿㊳　Gは図の㊴に示す行列である。図の㊴を見よ。
次の(4)もPの逆行列P^‐1は、式㉜によりすでに求めた。次はexp(At)を求める
　8、exp(At)を求める
Aを対角化するのはAのn乗「A^n」を計算する為である。行列Aを3乗しようとすれば18回の掛け算が必要になる。しかし、対角行列なら、D^３を計算するときに必要な掛け算は6回だけである。
式⑦の固有値λ₁=3，λ₂=0，λ₃=0　の行列では、3^nを計算するだけで済む。
Aを対角化してD=P^‐1APとした時、D^２の計算では、式㊲の真ん中のP✕P^‐1が消えて
D^２=P^‐1AP✕P^‐1AP= P^‐1AAP=P^‐1A^2P＿＿㊳
と簡単になる。同じようにD^ nを計算すると、㊴となり、A ^nは㊵となる。
D^n =P^‐1A^n P＿＿㊴
A^n = PD^nP^‐1＿＿㊵
さらに式⑦の固有値の行列Aでは㊲のD=3Gとなる。G^n=Gだから、㊵は㊶となる。
A^n = 3^n P GP^‐1＿＿㊶
n=1のとき、A = 3 P GP^‐1,　　P GP^‐1= A/ 3＿＿㊷
n≧1のとき、㊶に㊷を入れるとA^n =3^n PGP^‐1=3^n A/3=3^(n-1)A＿㊸となる。
n=0のときだけは㊶は成立せず、A ⁰≠3⁰ P G P^‐1、A ⁰=Ｉ＿＿㊹となる。
exp(At)をテーラー展開すると、exp(At)=Σ(At)^ｎ/ｎ! ＿＿㊺となり、㊸㊹を入れると
exp(At)=Σ(At)^ｎ/ｎ! =Ｉ+Σ[n=1～∞] 3^(n-1)A t^n/ｎ!
=Ｉ+(Σ[n=1～∞](3t)^n /ｎ!) A/3=Ｉ+(exp(3t)－1) A/ 3＿＿㊻
これが(４)の答えである。
9、連立線形微分方程式
転置記号tと区別するため、独立変数をtからuに変えて書く。
微分方程式 x '=Ax＿＿㊼ x(0)=t(1 0 0)の解は㊽となる。
x=exp(Au) x(0)
= (Ｉ+(exp(3u)－1) A/ 3) t(1 0 0)
= t(1 0 0)+(exp(3 u)－1)/ 3) A t(1 0 0)＿＿㊽
㊼の検算　左辺=dx/du¬= exp(3 u) A t(1 0 0)
　　　　　右辺= Ax= A exp(Au) x(0) = A (Ｉ+(exp(3u)－1) A/ 3) t(1 0 0)
= (A +(exp(3u)－1) A２/ 3) t(1 0 0)　　㊸を使うとA^２=3A
= (A +(exp(3u)－1) A) t(1 0 0)= (exp(3u) A) t(1 0 0)=左辺

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/12/17 08:26

零固有値は重根ですね。

だから・・・回転楕円体・・・一つ選ぶんだったっけ？あとの小問は基本中の基本。これができないと材料力学の大事な問題は解けなくなります。対角化とか直交とかは工学ではよく使う重要な性質。

この回答へのお礼

固有値0の場合の基底に関してはx1＋x2＋x3＝0を満たすものなら適当に自分で設定していいってことですか？

お礼日時：2018/12/17 21:10

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/12/17 01:46

固有値がわかっているなら, 固有ベクトルは連立方程式を解けばいい.