この図のPとQの座標と右上の円の中心の座標の求め方を教えていただきたいです。どちらの円も半径5です。

この図のPとQの座標と右上の円の中心の座標の求め方を教えていただきたいです。どちらの円も半径5です。左下の円は原点中心です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/19 10:54

No.2です。

#2 は正攻法のひとつです。

もう少し簡単にやるなら、
・2つの円の接点と中心とを通る直線が
　y = (4/3)x
ですから、接点における接線の傾きは
　-3/4
なので、
・原点とＰを通る直線：
　y = -(3/4)x
・上の円の中心とＱを通る直線：
　y = -(3/4)x + c
(これが上の円の中心 (6, 8) を通るので c=25/2）
を求めて、各々円との交点を求めてもよいです。

さらに簡単には、2つの円の接点をR、原点をO、上の円の中心を O' とすれば
　∠POR = ∠QO'R = 直角
つまり
　△POR、△QO'R とも直角二等辺三角形
であることから「直感的」にもＰ、Ｑの座標が分かりますね。

No.3 回答者： kurokurosun 回答日時： 2019/01/19 10:49

小学生でも知識で解ける問題ですよね。

図を描いて、相似形に注目してみてください。
できれば、方眼紙に書くと、イメージがわきやすいと思います。

図を添付してみました。

三角形OABと三角形OO'Cに注目。この２つは相似形

ｒ＝５と同じなので、辺の比１：２の相似形

OB=3、AB=4　なので、AC=6、O'C＝８ですよね
なので、O'は（６，８）

次にPの座標は？

三角形OABと三角形OPDに注目。
この２つは合同ですよね。

なぜなら、P,Qが接点であるので、PQとOO'は平行であり、
P,Qが接点なので、OO'QPは長方形
角AOB＝角PQD
角Dと角Bは90度
辺OA＝辺OP＝半径　　なので。

するとPD＝４、OD＝３
したがって、P（－４，３）

同じように考えて、
三角形O'QEと三角形OPDは合同

なので、O'E=４、QE＝３
O'（６，８）なので
Q（２，１１）

以上

方眼紙をイメージしたらば、簡単ですよね。
難しい式を使わなくとも、小学生でも解ける問題ですよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/19 01:09

求め方も何も、基本どおりにやるだけです。

原点と接点と上の円の中心は一直線上に並びますから（双方の接線は同じもので、各々の半径はその接線と直交しますから）
・上の円の中心は (6, 8)

この直線は
　y = (4/3)x
で、P、Qを通る直線はこれに平行ですから
　y = (4/3)x + b
と書けます。

下の円に接するので、下の円の方程式
　x^2 + y^2 = 5^2
に代入して
　x^2 + [(4/3)x + b]^2 = 5^2
→　x^2 + (16/9)x^2 + (8/3)bx + b^2 = 25
→　25x^2 + 24bx + 9b^2 - 225 = 0　　　　　①
これが重根を持つので
　D = (24b)^2 - 4*25(9b^2 - 225) = 0
→　576b^2 - 900b^2 + 22500 = 0
→　324b^2 = 22500
→　b^2 = 22500/324 = 2500/36
→　b = ± 50/6 = ± 25/3

m は、このうち + 25/3 のほうでしょう。
　y = (4/3)x + 25/3　　　　　　　　　　　②

①は
　x^2 + 8x +16 =０
になり
　(x + 4)^2 = 0
より
　x = -4
②より
　y = -16/3 + 25/3 = 3
よって、Ｐは (-4, 3)

あとは中心点の移動により、Ｑは (2, 11)

No.1 回答者： ken_den 回答日時： 2019/01/18 23:49

下の円と上の円は(3,4)で接しています。

上の円はこれから同じく(3,4)上がる。原点より(6,8)です。