公務員試験の数的処理の問題です。 二分の一より大きく1より小さい既約分数Fがある。Fの分母にFの分子

公務員試験の数的処理の問題です。

二分の一より大きく1より小さい既約分数Fがある。Fの分母にFの分子の5倍と1を加えたものを新たな分母とし、Fの分子にFの分母の2倍と5を加えたものを新たな分子とする分数は、約分すると4分の3になる。このとき、Fの分母と分子の輪としてあり得るのは次のうちどれか。

答えが19なのですが、解説を読んでも全然分かりません。
詳しく教えて下さい（ ; ; ）

質問者からの補足コメント

• ｘ＝5分の11y−17をなぜ、5分の10y−15+5分のらy−2に変形しているのかがよく分かりません。
  その後の説明もよく分かりません…

  
    補足日時：2019/02/12 01:15

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/15 17:17

選択肢に19があるんなら、出題者は

　　えーと、9/10 なら (9 + 2×10 + 5) / (10 + 5×9 + 1) = 34 / 56 ≠ 3/4
　　じゃあ、8/11 なら (34+1)/ (56-4) = 35/52 ≠ 3/4
　　ならば、7/12 なら (35+1)/ (52-4) = 36/48 = 3/4 おおっ、これだあ〜っ！
という解き方をするやつがいることも想定内なのかも。

　しっかし、こんな問題で公務員選んでるんかー↓↓↓

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/12 02:22

補足は、

ｘ = (11y - 17)/5 を、なぜ (10y -15)/5 + (y - 2)/5 に変形しているのか
ですね？

その１行先を見たほうが解りやすいと思います。それは、
ｘ = (11y - 17)/5 を x = (2y - 3) + (y - 2)/5 に変形する途中計算です。
x が整数になるための y の条件が見やすくなるように、明らかに整数になる
部分を分子から追い出しているのです。

その解答では、x が整数になるような x,y を求めてから
1/2 < F < 1 となっているかどうかチェックしていますが、
No.1 では、1/2 < F < 1 となるような p を求めてから
q が整数になっているかどうかチェックしています。
どちらのやり方が簡単かは、すきずきですかね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/12 01:07

奇妙な問題だね？ 何がしたいのだろう。

案外、算数よりも、題意が読めるかという
国語のテストなのかもしれない。

1/2 < F = p/q < 1,
p と q は互いに素,
(p+2q+5)/(q+5p+1) = 3/4. であるとき、
p + q を求めよ。 (輪は和の誤字でしょう、たぶん)

3行目の式を変形して -11p + 5q + 17 = 0.
1行目の不撓式を変形して p < q < 2p.
-11p + 5p + 17 < 0 < -11p + 5・2p + 17
から 17/6 < p < 17 で 3 ≦ p ≦ 16.
その中で q = (11p - 17)/5 が自然数になるのは
(p,q) = (7,12), (12,23) の 2 組。

あれ？ 和は 19 と 35 のふたつあるな。
私の国語力の問題かな？ いや、
「あり得るのは次のうちどれか」だから、
19 のほうだけが選択肢に入ってたということか。
だとすると、消去法ですぐに答えが見つかる
なんちゃって解法もありそうだなあ。