lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} lim[dθ→—0]

lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}
lim[dθ→—0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}
の
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} に関して
同じ-sinθになるのでしょうか？
ですが、
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}はわかりますが、
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
はdθが0に違い負の値になるので前者の式とは違うように思えます。
0に近い負の値ではなく0なのでしょうか？
それとも式が間違っているのでしょうか？

lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} ではなく、
lim[dθ→-0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}が正しいという事でしょうか？

どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 皆さまありがとうございます。
  あのlim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}に関してだけ、
  どうしてもlim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と出来ないのですが、やり方を教えてください。

    補足日時：2019/07/03 08:34

• syotao様に聞きたいのですが、式は同じにはならないが、導ける結果は同じという事でしょうか？

    補足日時：2019/07/03 10:11

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/02 10:28

<lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}

lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} に関して
同じ-sinθになるのでしょうか？>

同じ-sinθになる。

＜lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
はdθが0に違い負の値になるので前者の式とは違うように思えます。
0に近い負の値ではなく0なのでしょうか？
それとも式が間違っているのでしょうか？＞

0に近い負の値です。0にはならない。
式は間違っていません。

No.13 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2019/07/04 09:33

いわゆる質問乞食。

ハンドルを変えて至るところで屑のような質問を繰り返し、回答があっても放りっぱなし。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&m …
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11192348.html
　知恵袋の質問一覧をさかのぼってみなさい。
　実にひどい。
　教えてgoの数学分野でもこういう輩が毎年新たに出現するが、これほど悪質な例は珍しい・・・・・と思ったのだが・・・・・・
　自分が投稿した質問に回答があっても平然と放りっぱなしにしている。
　それも大多数の質問がそうである。このことを礼儀に反するとまったく思ってないらしい。病気なのかもしれない。独特の数学的思考にもそういう点が見られる。

　であれば、回答しても無意味ではないかね。
　ま、こういう質問を楽しんでいる人もいるとは思うけど（笑）。

No.12 回答者： beel 回答日時： 2019/07/04 05:53

わざわざアカウント変えても無駄だろうし

なんでここまで人の話を無視しまくるのかきになる

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/03 15:52

＞あのlim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}に関してだけ、

＞どうしてもlim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と出来ないのですが、やり方を教えてください。

No.4 が読んでもらえなかったのは、残念です。

＞[1]と[2]の結果が同じになることには、証明が必要ですが、
＞やってみれば、同じ -sinθ になります。
＞[1]と[2]の共通の値が、(d/dθ)cosθ の定義です。

と、書いたとおりです。
一般に、lim[x→a]f(x) を、lim[x→a+0]f(x) と lim[x→a-0]f(x) の値が一致したときの値
と考えうることは、学校の教科書にも説明してありますよ。
https://yama-taku.science/mathematics/one-step-m …
↑こんな感じで。

この回答へのお礼

式が同じになる場合と式は違うけど結果が同じ場合になる二つの場合があるのですね。

お礼日時：2019/07/04 07:39

No.10 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/03 13:54

<ちなみに、dθ<0の時、なぜdθ=-|dθ|と出来るのですか？

dθ→-0が|dθ|→+0と出来る理由も教えてください。>
一般に実数ａにたいして
絶対値|ａ|をａ≧0のとき|ａ|＝ａ、
　　　　　　ａ＜0のとき|ａ|＝－ａと定義します。
だからdθ<0の時|dθ|＝－dθだから両辺に(－1)をかけてdθ=-|dθ|になる。

dθが負の値をとりながら0に近づく例としてたとえば
－1/2、－1/3、－1/4、－1/5、･･･
を考えるとそれぞれの絶対値は
|－1/2|＝1/2、|－1/3|＝1/3、|－1/4|＝1/4、|－1/5|＝1/5、･･･となって
絶対値の方は正の値をとりながら0に近づきます。
dθ→-0が|dθ|→+0と出来るのはこのことをいうのです。

＜syotao様に聞きたいのですが、式は同じにはならないが、導ける結果は同じという事でしょうか？＞
そういうことです。

No.9 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/03 12:26

#8です。

lim[x→+0] x
と
lim[x→-0] x

これは明らかに違う式ですね。
でも両方とも同じ値0です
こんなことは普通にあります。

もっと極端な例でいえば
f(x)=x^2
と
g(x)=x
は全く違う式ですがx=0,1では同じ値をとります。

質問者はもしかして違う式であれば必ず異なる値を持つと思っていませんか。

今回の場合は
lim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}
と
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}

cosθの左微分と右微分であり、それが一致するということはcosθが微分可能であるということです。

この回答へのお礼

今まで形が違う式であるため異なる値が出るとばかり思い込んでいました。
やっと理解できました。
ありがとうございます。

お礼日時：2019/07/03 12:54

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/03 09:18

>あのlim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}に関してだけ、

どうしてもlim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と出来ないのですが、やり方を教えてください。

これは極限が一致するだけで違う式です。だから式変形で同じになることはない。

この回答へのお礼

！？
極限が一致するとはどういう事でしょうか？
違う式であれ、同じ値が求まるという事でしょうか？
あるいは、値は同じではなく、ほぼ同じという事でしょうか？
是非詳しく教えてください。

お礼日時：2019/07/03 09:23

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/03 01:12

＞dθをhと置き換える場合とdθを-hと置き換える場合があるわけでしょうか？

lim[x→0]f(x) と lim[y→0]f(y) が同じ式であることが判りませんか？
同じ理由で、lim[dθ→+0]g(-dθ) と lim[h→-0]g(h) は同じ式です。
何を h と置こうが私の勝手なので、そういうところでひっかからないでください。

No.6 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2019/07/02 15:59

まさか

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11158710.html
と同一人物ではあるまいね。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/02 15:41

lim[dθ→+0]{云々がわかるというなら

lim[dθ→—0]{のときは以下のように考える：
dθ＜0ならdθ＝－|dθ|だから
{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}＝{cos(θ-|dθ|)-(cosθ)}/(-|dθ|}
ここでcosが偶関数であることを使えばさらに
＝-{cos(-θ＋|dθ|)-cos(-θ)}/|dθ|
したがって
dθ→—0ならば|dθ|→＋0だから
　lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
＝lim[|dθ|→+0]-{cos(-θ＋|dθ|)-cos(-θ)}/|dθ|
＝-｛-sin(-θ)}となり　sinは奇関数だから
＝-sinθで結果は同じ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、dθ<0の時、なぜdθ=-|dθ|と出来るのですか？
dθ→-0が|dθ|→+0と出来る理由も教えてください。

お礼日時：2019/07/03 01:12