複素数

空欄にあてはまるものとdの答えを教えて下さい！答えなくて困っています！お願いします。

質問者からの補足コメント

• この画像の問題です。お願いします。

  
    補足日時：2019/08/23 15:36

• 特に最初の（）の中に入るものが分かりません。

    補足日時：2019/08/23 16:05

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/23 16:38

あなた、もう一つの質問も含めて、本当に勉強しているのですか？

講義にも出ず、テキストも読んでいないのでは？

z = r(cosθ + i*sinθ)　　　①
　= r*e^iθ　　　　　←これ、もう一つの質問に出てきたでしょ？

とおけば

　z^4 = r^4 [cos(4θ) + i*sin(4θ)]　　　②
　　　= r^4 *e^(4iθ)

になると書いてあるでしょ？

もし書いていなくとも

　z^4 = r^4 (cosθ + i*sinθ)^4
　　　= r^4 [cos^2(θ) + 2i*cos(θ)*sin(θ) - sin^2(θ) ]^2
　　　= r^4 [cos(2θ) + i*sin(2θ)]^2　　　←三角関数の「倍角の公式」ね
　　　= r^4 [cos^2(2θ) + 2i*cos(2θ)*sin(2θ) - sin^2(2θ)]
　　　= r^4 [cos(4θ) + i*sin(4θ)]　　　←再び三角関数の「倍角の公式」ね

となることは分かるでしょ？

z^4 = -16
なら、②より
　r^4 = 16　　　　③
　cos(4θ) + i*sin(4θ) = -1　　　④
ということです。
r ≧ 0 の実数なので、③より
　r = 2
④は
　cos(4θ) = -1
　sin(4θ) = 0
ということですから、
　4θ = パイ + 2nパイ　　　　←最初のカッコはこれだろうなあ
→　θ = パイ/4 + (n/2)パイ

これらを①に代入すれば
　z = 2{cos[パイ/4 + (n/2)パイ] + i*sin[パイ/4 + (n/2)パイ)]}
　・n=0 のとき
　　z = √2 + i√2
　・n=1 のとき
　　z = -√2 + i√2
　・n=2 のとき
　　z = -√2 - i√2
　・n=3 のとき
　　z = √2 - i√2
まとめて書けば
　z = ±√2 ± i√2

この４つが分かれば (d) は書けるでしょ？

ここまでって、高校数学の範囲じゃないかな？

この回答へのお礼

すみません。間違えてはいけない問題なので慎重になりました。カッコ内だけは本当に何を埋めれば良いのか分かりませんでした。そこを知れてよかったです。ありがとうございます。

お礼日時：2019/08/23 17:00