複素数の問題です。 z+1/z=－1を満たしている時、 z^200+(1/z^200)の値を求め方を

複素数の問題です。
z+1/z=－1を満たしている時、
z^200+(1/z^200)の値を求め方を
分かりやすく教えてほしいです…。
よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/18 13:08

z=a+biとすると

その極形式は
z=|Z|(cosθ+isinθ)
ただし|Z|=√(a²+b²) でθは偏角（tanθ=b/a)

また、極形式での２この複素数の商の表し方は、
①商の絶対値は、（１こ目の複素数の絶対値）÷（２こ目の複素数の絶対値）であり
②偏角は、（１こ目の複素数の偏角）ー（２こ目の複素数の偏角）となるので
複素数1(極形式では,1=1(cos0°+isin0°))と複素数z=|Z|(cosθ+isinθ)の商である1/zを極形式で表わすと
1/z=(|1|/|Z|){cos(0-θ)+isin(0-θ)}=(|1|/|Z|){cosθーisinθ}

よって,z+1/z=－1より
|Z|(cosθ+isinθ)+(|1|/|Z|){cosθーisinθ}=-1
この等式の右辺の虚数部分は０なので、
左辺の虚数部分=|z|sinθ-(|1|/|Z|)sinθ=0
⇔|z|=(|1|/|Z|)
⇔|Z|=1

このことから
z=|Z|(cosθ+isinθ)=(cosθ+isinθ)
1/z=(|1|/|Z|){cosθーisinθ}＝(cosθ-isinθ)
（つまりzと1/zは共役複素数だと分かる）
従って、z+1/z=|Z|(cosθ+isinθ)+(|1|/|Z|){cosθーisinθ}=(cosθ+isinθ)+(cosθ-isinθ)=2cosθ=-1
ゆえにθ=120°としてよい
ここで、「ド・モアブルの定理」・・・(cosθ+isinθ)^n＝cosnθ+isin(nθ)により
z^n=(cosθ+isinθ)^n＝cosnθ+isin(nθ)
(1/z)^n=cosnθｰisin(nθ)
であるから、
z^n+(1/z^n)=cosnθ＋isin(nθ)+cosnθｰisin(nθ)=2cosnθ
これにn=200,θ=120を代入すると
z²⁰⁰+(1/z²⁰⁰)=2cos(200x120°)=2・cos{(198+2)x120}=2cos{(66x3+2)x120}
=2cos(240+360x66)
=2cos240°
=2cos120°
＝２x(-1/2)
=-1
となるようです

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/18 14:59

z^3-1 = (z-1)(z^2+z+1) には気がつくのが普通だと思いますが、

No.３ の前半から z^3 = 1 に気づいて No.1 後半へつなぐ
という折衷案もあるでしょう。
何にせよ、鍵は z^3 = 1 です。
^200 が大きくて扱いづらい数だなということから、
比較的小さい自然数 n で z^n が簡単な数にならないかな？
という発想は持つべきです。
そこから n=3 に行けるかどうかは、経験からくる勘かなあ。

この回答へのお礼

やっぱりその辺りから
推察していく力も必要
なのですね。
本当にありがとうございます！
助かりましたー。

お礼日時：2019/09/18 15:17

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/18 13:39

z+1/z=-1

z²+ｚ+1＝０
ｚ＝(-1±√３i)/2=cos(±２π)/3+isin(±２π)/3
z^200=cos(±400π)/3+isin(±400π)/3=cos(±２π)/3+isin(±２π)/3

z×1/z=1より、
1/z=cos(∓２π)/3+isin(∓２π)/3
1/z^200=(1/z)^200==cos(∓400π)/3+isin(∓400π)/3=cos(∓２π)/3+isin(∓２π)/3

z^200+(1/z^200)={cos(±２π)/3+isin(±２π)/3}+{cos(∓２π)/3+isin(∓２π)/3}=-1

No.1 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/09/18 12:53

z+1/z=-1で、両辺にzを掛けてz ^2+z+1=0から、

z^3-1=(z-1)(z ^2+z+1)=0
ゆえにz^3=1…①
同様に、z+1/z=-1で、両辺に1/zを掛けて
1/z ^2+1/z+1=0から、
1/z^3-1
=(1/z-1)(1/z ^2+1/z+1)=0
ゆえに1/z^3=1…②
200÷3=66余り2で、
①②から
z^200+(1/z^200)
= z^2+(1/z^2)
=(z+1/z)^2-2
=-1ですね。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。
解説の方にも同じように
解けと書かれていたのですが、
(z-1)(z^2+z+1)の因数分解には
気づくしかないのでしょうか…。
簡単に気づける方法か、
別の簡単な解き方があるのか
知りたくて…。

お礼日時：2019/09/18 14:14