159番について質問です 解答では、点Pは三角形の中にある程で解かれています。なぜ、点Pは三角形の中

159番について質問です

解答では、点Pは三角形の中にある程で解かれています。なぜ、点Pは三角形の中にあると、断定できるのですか？外にある場合は考えなくていいのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/23 12:26

ベクトルの矢印は省略

3AP+4BP+5CP=0より
3AP+4(AP-AB)+5(AP-AC)=0
AP=(1/12)(4AB+5AC)
（AP=(1/2)(4b+5c))
この形のままでは分かりづらいので、4AB+5ACの分母を９に変換する
そのためには、1=9/9とみなし積として付け加えてあげると考えやすい
AP=(1/12)(4AB+5AC)
=(1/12)・1・(4AB+5AC)
=(1/12)・(9/9)・(4AB+5AC)
=(9/12){(4AB+5AC)/9}
=(3/4){(4AB+5AC)/9}
p＝(3/4){(4b+5c)/9}
この式において,(4AB+5AC)/9または(4b+5c)/9は内分点を表わす公式だから、
この公式の意味を読み取る
すると、BCを５:４に内分する点であることが分かる
そこで、この内分点をM(m)とすれば
AM=(4AB+5AC)/9 またはm=(4b+5c)/9と書けるから
AP=(3/4){(4AB+5AC)/9}=(3/4)AM
p=(3/4)m
となるので
APはAMの3/4倍の長さと分かる
図で確認してもらえば分かりやすいが、△ABCの頂点Aと、辺BC上の点Mを結ぶAMに対して、
APはその3/4倍なのだからPの位置は△ABCの内部となります

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/09/23 12:29

めんどいのでベクトルの矢印は省略します。

＞なぜ、点Pは三角形の中にあると、断定できるのですか？

与えられた条件が
　3AP + 4BP + 5CP = 0
ですから
　AP = -(4/3)BP - (5/3)CP = (4/3)PB + (5/3)PC
　BP = -(3/4)AP - (5/4)CP = (3/4)PA + (5/4)PC
　CP = -(3/5)AP - (4/5)BP = (4/3)PA + (5/3)PB
となり
　PB の正の倍数と PC の正の倍数を合成したベクトルと AP が同じ方向
　PA の正の倍数と PC の正の倍数を合成したベクトルと BP が同じ方向
　PA の正の倍数と PB の正の倍数を合成したベクトルと CP が同じ方向
なので、Ｐは△ABC の内部にあることが分かります。

ただし、問題ではそれを前提にする必要はありません。
三角形の中だろうと外だろうと、同じやり方で解けます。

（１）BP = BA + AP = -AB + AP
CP = CA + AP = -AC + AP
より
　3AP + 4BP + 5CP = 0　　　　①
は
　3AP + 4(-AB + AP) + 5(-AC + AP) = 0
→　12AP - 4AB - 5AC = 0
→　AP = (1/3)AB + (5/12)AC = (1/3)b + (5/12)c　　　　②

（２）点Ｑは BC 上にあるので、0≦k≦1 の実数 k を使って
　AQ = AB + BQ = AB + kBC = AB + k(AC - AB) = (1 - k)AB + kAC = (1 - k)b + kc　　　③
と書けます。

さらに、Ｑは AP の延長線上にあるので、任意の正の実数 p を使って
　AQ = pAP　　　　④
と書けます。
（この時点では、0<p<1 か 1≦p であるかは区別する必要はありません）

③と④は等しいので
　pAP = (1 - k)b + kc
②を使って
　(1/3)pb + (5/12)pc = (1 - k)b + kc
→　(p/3 + k - 1)b + (5p/12 - k)c = 0
これが成り立つためには
　p/3 + k - 1 = 0　　　⑤
　5p/12 - k = 0　　　　⑥

⑥より
　k = (5/12)p
これを⑤に代入して
　(1/3)p + (5/12)p - 1 = 0
→　(9/12)p = 1
→　p = 4/3
よって
　k = 5/9

以上より
　BQ : QC = (1 - k) : k = 4 : 5
　AP : PQ = 1 : p = 3 : 4

Ｐが三角形の内部にあることは、ｐ≧ 1 で初めてわかることです。