幾何ベクトルなどについての質問

幾何ベクトルや Vectrix などを使うことのメリットについて教えてください。

私は最近、仕事の都合によりマルチボディーダイナミックスを勉強しています。
するとそこに幾何ベクトルや Vectrix についていろんな公式などが列挙・証明
されて使われていますが、そのようなものを使うメリットがわかりません。

私が学生だった頃 (数十年前) は原島鮮の「力学」や Goldstein の「古典力学」で解析力学
などを学んでいたのですが、当時は幾何ベクトルや Vectrix などは無く全て代数ベクトルで
位置・速度・加速度などを計算していました。

幾何ベクトルや Vectrix などを使わなくても代数ベクトルだけで全て計算できたのに、
現在のマルチボディーダイナミックスの本はほとんど全て幾何ベクトルや Vectrix などを
使って説明してあります。(それら新しい公式の証明などは説明してありますが、
それらを導入する理由やメリットについての説明は書いてありません。)

幾何ベクトルなどを使わなくても代数ベクトルだけで全てを計算できると思うのですが、
何故わざわざそれらを使って記述や説明を複雑にしているのか ?。
そのメリットを教えてください。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/27 09:56

うーん、メリットがどうのこうのという話より、数学的に必要だから。

あとは記述する人の趣味かな。

既に座標ありきで、その成分のみで物理を論じることは可能だけど、
本来、速度ベクトルとかは、座標系の設定とは独立に存在するものですよね。
その成分は基底が与えられて初めて求まる。こんな感じ

A = ΣeiAi = Σei'Ai'

ei、ei' は基底、Ai, Ai'はそれぞれの基底でのAの成分

しかし、基底ei, ei' は座標系や成分を定めるためのベクトルだから
それ自体は具体的な成分を持てない。それの積和から作られる A も同様。

座標変換だと、「同じベクトル」が座標によってどう表現されるかが主題だから
ベクトルは Ai表現(成分)と A表現を明確に区別しないと
話がとてもややこしくなります。なので、ベクトルは A表現(質問でいうところの幾何ベクトル)
とその成分を区別して話を進めるのが普通。

邪道かもしれないけど、
「神の座標系=神の定めた絶対座標」というものがあって、
A表現の成分は「神の座標系」の成分だと考えても数学的には同等です。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/26 10:40

ちょっと調べてみましたが、特定の業界で古くから使われている用語っぽい。

vectrix → 座標系の基底を並べて行列にしたもの
幾何ベクトル→特定の基底の成分で表す前の抽象的なベクトル(所謂神の座標のベクトル)

普通の座標変換論の用語の言い換えだと思います。
考え方自体は線形代数の入門書に載ってます。

これでようやく話が通じるかな。

要するに抽象的な座標系に依存しないベクトルで
物理を論じる意味がわからないという話？

この回答へのお礼

(とりあえず) 回答、有難うございます。

私が学生時代に買った線形代数や力学の教科書には Vectrix なんて
載っていませんでした。そんなの無くても代数ベクトルだけで全て
計算できるのに、マルチボディーダイナミックスの教科書では
幾何ベクトルや Vectrix という概念を導入してやたらと公式を増やし
説明を複雑にしているそのメリットがわからないのです。

もしかしたらこれは工学部と理学部の文化の違いでしょうか ?。

例えば若い頃、経済学部の先生の書いた特異値分解関係の本を
読んだことがあるのですが、理学部出身者から見るとその説明の
多くに論理の飛躍があるように思えてわかりにくかった記憶が
あります。

代数ベクトルだけでは説明できない定理や証明などがあるのなら、
最初にそのメリットを説明してから Vectrix などの公式を使って
もらえば納得できますが、そのメリットの説明が無いまま新しい
公式を使われると何故こんなものを使わなければならないのか
わかりにくいという感想だけが残ります。

お礼日時：2020/01/27 00:42

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/25 17:11

なんか、言葉が独特で、何を言いたいかわかりませんが

ひょっとして、ベクトルなんて不要、成分毎の記述で充分ってこと?

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/01/25 08:09

用語がわかりません。

幾何ベクトル　→ 位置ベクトルのことらしい。速度ベクトル、力のベクトルとかいうように。
Vectrix　　　　→ 不明。マトリックスと関係ある？
代数ベクトル　 → ベクトル代数のこと？

ということで、何が疑問なのかよくわからないのですが、感想だけ。

・どんなベクトルであろうと、ベクトル代数・ベクトル解析が使えます。
・原島鮮の「力学」はベクトルを使用せず簡潔にならず違和感がありました。丁寧に成分を
　書こうとしたのかもしれないけれど（普通は方程式だけなのに、計算もしてありますので）。
・ゴールとスタイン（3版）はベクトルもマトリックスも使っていたような。

この回答へのお礼

(とりあえず) 回答、有難うございます。

幾何ベクトル、代数ベクトル、Vectrix などの意味のわからない方は、たぶん
Multibody Dynamics を勉強されたことのない方だと思われます。
私もこれを勉強するまで、知りませんでした。
インターネットを日本語で検索しても、現時点ではほとんど出てきません。

例えば本屋さんに行かれて以下の書籍の第 2 章を立ち読みして下さい。載ってます。
「マルチボディダイナミックス (1) 基礎理論」日本機械学会編、コロナ社
完全な 3 次元で力学の運動方程式を立てる時に必要となります。

或いは私もまだ読んでませんが、以下の PDF に用語が出てくるようです。
https://folk.ntnu.no/skoge/prost/proceedings/acc …

以上、よろしくお願いします。

お礼日時：2020/01/25 23:03