統計学 独立と無相関

統計学入門 東京大学出版会 第7章の問題です。

「二つのつぼA,Bの中に3個のボールを投げ入れる。つぼAの中に入ったボールをX,ボールの入ってるつぼの数をYとするとき、X,Yの同時確率分布を求めて,X,Yとは無関係であるが、独立ではないことを示せ」

自分の周りにわからない問題を聞ける人がいないため質問させていただきました。

【自分なりの解答】
Y=0の時、X=0しかありえない。
故に1通り。

Y=1の時、
(ⅰ)X=0はありえない。
(ⅱ)1≦X≦3の時、Aにボールが入ってるとき、Bにボールが入っているときの2通り。

Y=2の時、
(ⅰ)X=0,1はありえない。
(ⅱ)X=2の時、A,Bどちらも一つずつボールが入っているときの1通り。
(ⅱ)X=3の時、1つしかボールが入っていない(2つしかボールが入っていない)つぼが2通り。


このように考えた結果したのような同時確率分布が求まりました。

Y＼X 0 1 　2 　 3
0 1/10 × 　× 　 ×
1 × 2/10 2/10 2/10
2 × × 1/10 2/10


しかし、解答解説には同時確率分布は略としか書かれてなく、後半の問題の解答解説から推測するしかない状況です。


後半の問題の解答は
P(X=0)=1/8
P(Y=1)=1/4
が用いられており、確実に自分の求めた解答が間違っています。

自分の解答のどこが間違っていたのか、また解答は何かを教えてほしいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/04/10 16:38

出題者がよほどのアレでない限り、問題文を正しく写してないんでは？

　ま、ともあれ「二つのつぼA,Bの中に3個のボールを」入れたんであれば、ボールをA,Bどっちかに合計3個入れたんだから、Y=0なんてことは起こりえないのは当たり前で、ゆえに、X∈{0,1,2,3}であり、Y∈{1,2} であって、
　　X∈{0,3} ⇔ Y=1
　　X∈{1,2} ⇔ Y=2
である。てことは、もちろん（確率がどうであろうと）XとYが独立でないことは明らか。
　一方、確率については
　　P(Y=1)=P(X=0)+P(X=3)
　　P(Y=2)=P(X=1)+P(X=2)
だというところまでは自明。
　しかし「一体何が等確率で生じうるのか」についての仮定（「同等性の仮定」あるいは「根事象の発生確率」とか呼ばれる）が明示されていないと、具体的な確率を計算することはそもそもできない。（「投げ入れ」たという文言は何の意味も持っていない。）
　たとえば、「それぞれのボールがA,Bどちらに入るかは互いに独立で、それがAに入る確率は1/2、Bに入る確率は1/2である」という仮定があれば、P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3) が計算でき、相関係数が0になることは容易に確かめられる。（ご質問に「無関係」とか書いてあるのは意味不明だが。）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
初めての質問で緊張したせいか、問題文の写しミスでした。
正確には「二つのつぼA,Bの中に3個のボールを投げ入れる。つぼAの中に入ったボールの数をX,ボールの入ってるつぼの数をYとするとき、X,Yの同時確率分布を求めて,X,Yとは無相関であるが、独立ではないことを示せ」でした。

Y=0なんてことは起こりえないというところが非常に理解することに役立ちました。また、ボールに関しても区別するのですね...気づきませんでした。

後半に関してですが恐らく確率の分布について求める問題なので起こりうるパターンをすべて考え、例えばP(X=0,Y=1)は全パターンのうち何回でてくるかという意味での確率では？と思いました。
何はともあれ非常に理解できました。ありがとうございます！！！

お礼日時：2020/04/10 16:59