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積和公式より、
∫sin(mx)sin(nx)dx = ∫(1/2){ cos((m-n)x) - cos((m+n)x) }dx
= (1/2)∫cos((m-n)x)dx - (1/2)∫cos((m+n)x)dx.
∫cos(kx)dx は
k=0 のとき ∫[0,2π]cos(kx)dx = ∫[0,2π]dx = 2π,
k≠0 のとき ∫[0,2π]cos(kx)dx = [ (1/k)sin(kx) ]_{x=0,2π} = 0.
だから、
m=n のとき ∫[0,2π]sin(mx)sin(nx)dx = (1/2)2π - (1/2)0 = π,
m≠n のとき ∫[0,2π]sin(mx)sin(nx)dx = (1/2)0 - (1/2)0 = 0.
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