厳密な増加関数とは

厳密な増加関数とはどのような関数を言うのですか？
単調増加、あるいは単調非減少関数のことですか？

質問者からの補足コメント

• ご返信ありがとうございます。今回このような質問をさせていただいたのは次のような問題で悩んでしまったためです。
  
  適当な実数a＞0を考える。そして区間(-a,a)上で微分可能な実数値関数fを考える。このときfが区間(-a,a)上で厳密な増加関数であるからと言って、その区間内の巣で手の点において、fの微分係数が厳密に正の値であるとは限らないことを、判例を作ることで証明せよ。ただし、証明するにあたり次のことに注意すること。
  ・証明中に関数fが点ｘにおいて微分可能であることの定義を書くこと。
  ・図による証明は認めない。
  
  厳密な増加関数が狭義の意味の増加関数の意味なら、この問題に対する答えは、例えば、f(x)=2x(x≧０),x(x＜０)として、区間(-1,1)上でfは厳密な増加関数であるが、x=0における右側極限と左側極限の値が一致しないため、x=0におけるfの微分係数は厳密に正の値ではない。

    補足日時：2020/07/29 01:42

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/29 15:09

←補足

「厳密な」という言葉の使い方が独特ですねえ。
数学書は、数学者か、あるいは最低限度数学のことが解っている人が書いたもの
を読んだほうが安全ではないでしょうか。

補足に書かれた問題文は、文章から「厳密な」「厳密に」の語を削除すると
あたりまえの数学の文章になります。数学では、もともと条件が「厳密に」成立する場合しか、
成立するとは言わないからです。「厳密に」と書かなければ厳密じゃなくてもいいだろうという
考え方は、数学とは全く相容れないものです。

関数が単調増加である区間内に微分係数が正でない点があってもいいというのは、事実です。
例として f(x) = x^3 を考えてみましょう。 この f(x) は、全実数上で(狭義)単調増加ですが、
f’(0) = 0 ですから、常に f’(x) > 0 だとは言えません。

あなたが挙げた例は、
＞区間(-a,a)上で微分可能な実数値関数fを考える。
を満たしていませんから、この問題の答えにはなりません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ありものがたり様のご回答のおかげですっきりしました。確かに私の例は条件を満たしていませんでしたね…。ありがとうございました。

お礼日時：2020/07/29 18:54

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/28 21:09

関数 f が「増加関数」であることの厳密な定義は、

x < y ならば f(x) < f(y) であること、すなわち狭義単調増加であることです。
そうなる理由は、「増加関数」という言葉の定義がそうなっているためであって、
「厳密な」という言葉に「狭義の」という意味を持たせられるからではありません。
そのへん、けっして誤解の無いように。

この回答へのお礼

ありがとうございます。申し訳ないのですが、補足のほうを見ていただけないですか。

お礼日時：2020/07/29 01:46

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/07/28 19:20

「厳密な増加関数」というのは初めて聞きましたが、多分、狭義の単調増加関数のことなのでは？

つまり、「x<yならば、f(x)<f(y)」のこと。
ここで、「<」であって「≦」でないことが重要。不等号の下に等号が付かない（つまり、等しくなることはなく、必ず大きい）ことが「狭義」で、「≦」の場合（等しくなってもいい）が「広義」。

この回答へのお礼

ありがとうございます。申し訳ないのですが、補足のほうを見ていただけないでしょうか。

お礼日時：2020/07/29 01:46

No.1 回答者： dwacqxir35c 回答日時： 2020/07/28 19:17

関数を微分したものがいつもプラスなら増加関数