数学

すべての実数xに対して、２次不等式 kx^2+(k+2)x+k>0 が成り立つような定数kの値の範囲を求めよ。
この問題の解き方を教えてください。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/17 00:39

No.1 です。

ああ、#1 は間違いで、#2 さんが正しそうですね。

#1＞k < 0 なら
#1＞　x^2 + (1 + 2/k)x + 1 < 0
#1＞→　[x + (1/2 + 1/k)]^2 - 1/k^2 - 1/k + 3/4 < 0　　　①
#1＞これが成り立つためには
#1＞　-1/k^2 - 1/k + 3/4 < 0　　　②

この下2行が間違いです。
すべての実数 x に対して、①の不等式が成立することはあり得ません。
②は、①を満たす x が存在し得る条件です。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/15 05:52

y=kx²+(k+2)x+k (k≠0) のグラフを考えます。

このグラフがつねにx軸より上側にあれば、すべての実数xに対して、
kx²+(k+2)x+k>0
が成り立ちます。

y=kx²+(k+2)x+k のグラフは放物線ですが、k<0 のときは上に凸の放物線になるので、グラフがつねにx軸より上側にあることはありません。よって、k>0 です。このとき、グラフは下に凸の放物線で、グラフがつねにx軸より上側にあるということは、x軸と共有点を持たないということです。よって、判別式 D<0 です。

D=(k+2)²－4k・k
=k²+4k+4－4k²
=－3k²+4k+4

これより、
－3k²+4k+4<0
3k²－4k－4>0
(3k+2)(k－2)>0
k<－ 2/3 , 2<k

k>0 なので、
k>2

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/14 23:05

k ≠ 0 なので、k > 0 なら

　x^2 + (1 + 2/k)x + 1 > 0
→　[x + (1/2 + 1/k)]^2 - (1/4 + 1/k + 1/k^2) + 1 > 0
→　[x + (1/2 + 1/k)]^2 - 1/k^2 - 1/k + 3/4 > 0
これが成り立つためには
　-1/k^2 - 1/k + 3/4 > 0
→　(3/4)k^2 - k - 1 > 0
→　3k^2 - 4k - 4 > 0
→　(3k + 2)(k - 2) > 0
k > 0 であることから
　2 < k

k < 0 なら
　x^2 + (1 + 2/k)x + 1 < 0
→　[x + (1/2 + 1/k)]^2 - 1/k^2 - 1/k + 3/4 < 0
これが成り立つためには
　-1/k^2 - 1/k + 3/4 < 0
→　(3k + 2)(k - 2) < 0
k < 0 であることから
　-2/3 < k < 0

以上より
　-2/3 < k < 0, 2 < k