連続と離散は連続的ですか？

Question

素人考えだと、離散の幅を限りなく狭くしていけば連続になるのかなと思いますが、何か根本的な理解不足がこのような疑問を湧かせるのかとも思っています。蒙を開いていただければ幸いです。

grothendieck · Accepted Answer

これはそんなに簡単な問題ではありません。例えば空間と時間を離散化して、その上のランダムウォークを考えます。これはブラウン運動のモデル化と考えられますが、連続極限をとるとき、時間間隔と空間間隔を勝手な仕方で０に近付ける事はできません。時間格子の間隔をτ、空間格子の間隔をaとしたときτ/a^2 を一定に保ちながら０にする極限を取らないと正しい連続極限の拡散運動の方程式にならないのです。離散から連続にうつる時にこのように注意が必要ですが、一般には離散の間隔を狭くして連続極限に移行できると考えられます。特にウィルソンが繰り込み群を考案してから離散を粗視化したときの物理量の振る舞いを計算できるようになり、臨界現象の理解が大きく進みました。しかし離散から連続への移行が困難な例もあります。場の理論の非摂動的振る舞いを計算するために時間と空間を離散化してその上でゲージ場を定義する格子ゲージ理論と呼ばれるものがあります。ところがディラック場を格子の上で定義すると、格子間隔を０にした極限で本来の連続極限では存在しない幽霊の様うな余分な粒子が出てきてしまいます。これはfermion species doubling の問題と呼ばれ、多くの人を悩ませてきました。ようやくごく最近になって解決に向かいつつあるようです。空間をいくらでも細かくできるとすると運動量はいくらでも大きな値をとることができ、場の量子論の計算は無現大になってしまいます。これは発散の困難と呼ばれ、解決に多くの努力がなされてきました。空間がある限界より細かくできないとすれば良いのではないかとする考えは昔からありましたが、ちっともうまく行きませんでした。それが最近になってついに解決できるかもしれないと考えられる様になってきたのです。コンヌは空間座標は可換でないとすれば、場の量子論の結果が再現でき、かつ発散が消えることを示しました。非可換幾何学が空間の基本構造で、連続で可換な空間はある極限と今後考えられるようになるかもしれません。話が飛ぶようですが、空間がいくらでも細かく分割できるとし、かつ選択公理を採用するとバナッハ=タルスキのパラドックスと呼ばれる不思議な結果に導かれます。現実の空間でバナッハ=タルスキのパラドックスが成立しては困るので、空間は離散になっているのではないかと思います。

kansai_daisuki · Answer

私も連続と離散に関しては素人なのですが、理系経験者としての立場から考えると、離散の幅を限りなく狭めても、連続にはならないのでは？
極限をとると、近似的に連続的にはなりますが、あくまでも近似であり、離散は幅を狭めても、「隙間がある限りは」離散であると思います。

Tacosan · Answer

離散と連続の中間っぽいものに, 稠密というのもあったりします.

tenro · Answer

離散的に並んでいる無限個の点の間隔を全て半分にしても、２倍の拡大率の虫眼鏡で見れば元と同じですよね。つまり、離散的に分布している無限集合はどんなに幅を狭めても無限として同じ大きさなわけです。また、そのような集合を何倍にしても無限のおおきさとしては同じになります。ここで、無限の大きさが同じというのは、一対一対応がつくと言うことです。一方、連続な集合（例えば実数全体）と離散的な集合（例えば自然数全体や有理数全体）は一対一対応がつきませんので、実数全体の無限の大きさは真に自然数全体の無限の大きさより大きくなります。

このことについては、遠山啓著「無限と連続」を読まれることをお勧めします。

連続と離散は連続的ですか？

私も連続と離散に関しては素人なのですが、理系経験者としての立場から考えると、離散の幅を限りなく狭めても、連続にはならないのでは？

離散と連続の中間っぽいものに, 稠密というのもあったりします.

離散的に並んでいる無限個の点の間隔を全て半分にしても、２倍の拡大率の虫眼鏡で見れば元と同じですよね。

これはそんなに簡単な問題ではありません。

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