点や直線はどのように数学的に定義されるのでしょうか？

点や直線はどのように数学的に定義されるのでしょうか？

No.11 回答者： 数学ぽん 回答日時： 2021/03/24 14:50

定義とは言えませんが「点」というのは

少なくとも集合の元であります。
どの集合の元であるかが大切なのです。
(どんな構造をもったものか)

また、直線も、点を集めてきたものです。


例えば「最短距離」と習ったかも知れませんが
長い、短いの概念は、集合に「距離」という構造が入って、初めて認識できます。
距離という構造も、1通りとは限らず、無限通りあるかもしれません。

つまり、「点」はとある構造をもった集合の元のことです。

ちなみに、みなさんが想像するような点は
ユークリッド空間という集合に
ユークリッド位相という構造と
ユークリッド距離という構造を入れたものです。
(正確には、距離から位相は導くことが可能ですが。)

No.10 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/20 00:57

直線の話でなく点。

なお、非ユークリド幾何学は線形? 知らないけど。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/20 00:24

直線を定義するのに必要なのは、

位相構造じゃなく線型構造。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/19 23:43

位相構造をもつ集合の元を点と呼び替えているだけで

定義ではない。

ベクトル空間だけでなく色々な空間がありそうだし。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/19 20:29

点... ベクトル空間の元

直線... ベクトル空間の一次元部分アフィン空間

この回答へのお礼

幾何学のそこら辺の話しは何の本にかかれているのでしょうか？

高校数学だと点や直線、平面とか
向きや大きさの定義がなくて、真面目に考え始めると
よくわからなくなります。

お礼日時：2021/03/20 13:42

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/19 19:32

いみじくもヒルベルトが示したように、点、線、平面は

定義できません(大昔)。

できるのは、これらの間の関係だけです。

No.5 回答者： head1192 回答日時： 2021/03/19 19:08

点とは、空間上や座標上の特定の位置を指す概念。

広がりも長さもその他の量も持たない。

直線とは、定義される空間内で曲率を持たず無限に続く線を指す。
ちなみに線は、長さと曲率のみの量を持ち、幅などそれ以外の量を持たないもの。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2021/03/19 17:43

勝手に補足ですが「部分のないもの」と言うのはユークリッドの「原論」で書かれている定義です。

ちなみに原論では線は「幅のない長さ」と定義されています。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/19 16:37

点：部分のないもの。

線と線が交わった処。

直線：その上の点に対して一様に横たわる線。

No.2 回答者： tanzou2 回答日時： 2021/03/19 14:49

高校時代に教わった定義ですが。

点とは、位置があって面積がないモノ。

線とは、長さがあって幅が無いモノ。

直線とは、点と点を結ぶ最短距離の線。