正八面体を異なる8色で塗り分ける方法は何通りですか

正八面体を異なる8色で塗り分ける方法は何通り　という問題があったのですが、
様々なサイトを見て疑問に思ったことがあったので教えてください。
まず１つの面の色を決めてその裏(？)の色を決めると７通りになるのは分かるのですが
①なぜ残りは６つの円順列　(6-1)!　ではないのでしょうか？

②　①でないと仮に私が理解したときに、それからの求め方として
始めに決めた面と隣り合う三面の選び方と残りの三面でわけて考える理由はなぜですか

③②と似ているのですが求め方として　7×6C3×(3-1)!×3!となるらしいですが
なぜ3!なのですか(3つの円順列ではなく)
6C3×(3-1)!で円順列だから3!は円順列と考えなくていいというのがよく分かちません。

④7×6C3×(3-1)!×3!でも7×(6-1)!でも7!÷3でも同じらしいですがそれぞれの考え方を教えてください

質問者からの補足コメント

• ①③を詳しく解説していただけないでしょうか
  ①の具体的な例を教えてほしいです。

    補足日時：2021/05/10 20:30

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/11 09:17

最初に色を塗った面の方角から正八面体を見て、

6 個ある側面が時計回りに 色3,色4,色5,色6,色7,色8 で塗られていたとします。
これを最初の面に垂直な軸を中心に 360/6 度づつ回転することを考えます。
偶数回回転すると正八面体の形が同じになって、
色5,色6,色7,色8,色3,色4 という塗り方と
色7,色8,色3,色4,色5,色6 という塗り方がこれと同じ塗り方だと判りますが、
奇数回たとえば 60 度回転した 色4,色5,色6,色7,色8,色3 は
この回転で正八面体が重なり合わないため
同じ塗り方を回転したものではありません。
3 個づつの塗り方が回転で重なり合うため、
6！ を 6 でなく 3 で割ることになります。

この回答へのお礼

分かりました！ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/11 17:02

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/10 00:01

①

円順列では、円に沿って回転したときに重なりあうもの
の重複を除くため n！ を n で割ります。
８ 面体を特定の ２ 面に垂直な軸で回転しても、
側面には ② で話題になるような 2 種類があるため
側面の塗り方は 6 個づつは重なりあいません。
②③
最初に塗った面と辺を共有する 3 面とそれ以外の 3 面を
区別して処理するためです。 ① とも共通の話題ですが、
最初の面と辺を共有する 3 面の塗り方は、3 個の円順列
になっています。 120° づつ回転することで、各塗り方が
3 個づつ重なりあうからです。 前半 3 色の塗り方の重複を
除去してしまうと、それ以上回転させることができないので
後半 3 色は円順列にはなりません。
④
7!÷3 が一番簡単でしょうか。 最初に塗る面を上面に固定する
ことにすると、残りの 7 面の塗り方が 7！ 通り。
②③ に書いたように、上面に垂直な軸での回転で 3 通りづつ
が重なりあうので、塗り方の総数は 7！÷3 です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。①の具体例的なものがあれば教えてほしいです。

お礼日時：2021/05/10 20:48

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/05/09 19:22

1色目の位置は8か所、2色目の位置は7か所、…

この組み合わせは、8!通りになります。
この数は、色の選択を変えても同じ結果です。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/05/10 20:49