関数のグラフと導関数のグラフの関係

関数のグラフと導関数のグラフには、互いにどのような関係がありますか？

No.5 回答者： taro1122 回答日時： 2001/08/27 20:56

導関数は元の関数上の任意の点における傾きを表しています。

No.4 回答者： newtype 回答日時： 2001/08/26 14:53

３次関数に限ってもあまり役にはたちません。

私が書いたことをしっかりマスターすれば、おのずと増減表を書けるようになります。ここでは増減表が書きにくいので、その意味を教えようとしたんですが…。

これも文部省の弊害なのかな。最初に、統一した理論を記述した教科書を編纂するよう指導しないから、同じことを２度、３度教えることになる。
私も新課程で勉強しましたが、高校の授業は重複するところを飛ばしていたと思います。
hariganeさんが意欲的ならば、数３、数Ｃの教科書を手にいれてまとめて勉強したらどうか。

ちなみに３次関数のグラフはある点にたいして対称です。
グラフの形は２種類で、
１．極値がなく、単調増加or減少
２．極値が２つ。

y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d＝a(x-α)^3+P(x-α)^2+Q(x-α)+Rとする。（P,Q,Rは定数。）
f’(x)=3ax^2+2bx+c＝3a(x-α)^2+2P(x-α)+Q
f"(x)=6ax+2b＝6a(x-α)+2P
∴f"(α)=6aα+2b＝2P
ここでP=0となるαの値＝-b/(3a)なので、これをα0とする。

さて、f(α)＝R，f’(α)=Q，f"(α)=2P
なので
f(x)=a(x-α)^3+{f"(α)(x-α)^2}/2+f’(α)(x-α)+f(α)と書ける。
この式にα＝α0を代入して
f(x)=a(x-α0)^3+f’(α0)(x-α0)+f(α0)…（１） （∵f"(α0)=0）

（１）式はy=ax^3+f’(α0)x(奇関数原点対称)のグラフを
ｘ軸方向α0，ｙ軸方向f(α0)平行移動したものだから、対称の中心も、
原点から点{α0，f(α0)}にうつる。

∴y=f(x)のグラフは点{α0，f(α0)}＝[-b/(3a)，f{-b/(3a)}]について点対称。
以上疲れました。

No.3 回答者： noname#4530 回答日時： 2001/08/26 14:17

>3次関数と導関数の場合に限って知りたかったのですが・・・

そいじゃ、f(x)=x^3,4x^3,-(1/2)x^3+5 などとしてグラフを書き、
＃2に書いてあるコトを試してみてください。

そのあと、f '(x)のグラフも書いて、f(x)のグラフと見比べてみて、
newtypeさんが書かれているコトをかくにんしてミテください。

No.2 回答者： noname#4530 回答日時： 2001/08/25 21:18

まず、何か一つ関数f(x)のグラフを書いてください。

そして、その関数の
接線をいくつか書きます。(できるだけ多く書いたほうがいいかも)

で、その接線の傾きが正のヤツ(右上がりのモノ)に注目してみると、
その接点の周辺ではy=f(x)のグラフは増加しているのが確認できると思います。
ということで、
f'(x)>0⇔f(x)はその周辺で増加　ということが確かめられると思います。

同様に、その接線の傾きが負のヤツ(右下がりのモノ)に注目してみると、
その接点の周辺ではy=f(x)のグラフは減少しているのが確認できると思います。
そんなこんなで、
f'(x)<0⇔f(x)はその周辺で減少　ということが確かめられると思います。

こんな風に、f(x)とf'(x)の関係を、y=f(x)のグラフだけで考えてみても
また理解が深まるんじゃないかな～、というコトで一応書いてみました。

この回答への補足

すいません。うっかりしてました。3次関数と導関数の場合に限って知りたかったのですが・・・
書き忘れていました。

補足日時：2001/08/26 13:03

No.1 回答者： newtype 回答日時： 2001/08/25 14:55

導関数のグラフがｘ軸より、上にある区間は関数f(x)は増加する。

導関数のグラフがｘ軸より、下にある区間は関数f(x)は減少する。

ｆ’(x)のグラフが点αを境に下から上に横切る⇔f(α)は極小値

ｆ’(x)のグラフが点αを境に上から下に横切る⇔f(α)は極大値

f(α)が極値⇒f’(α)=0ですがこの逆はなりたちません。例；y=x^3のグラフ

この回答への補足

すいません。うっかりしてました。3次関数と導関数の場合に限って知りたかったのですが・・・
書き忘れていました。

補足日時：2001/08/26 13:04