Ｑバー＝｛α⊂C| αがＱ上代数的｝は代数的閉体ではありませんよね？ その理由を説明していただけない

Ｑバー＝｛α⊂C| αがＱ上代数的｝は代数的閉体ではありませんよね？

その理由を説明していただけないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/12 05:39

Qバー={α∈C| αがQ上代数的}

は
代数的数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0 …
に
書いてあるように

Qバー　は　代数的閉体である。

代数的数とは複素数であって,有理数係数(整数係数)の0でない1変数多項式=0の根となるものをいう
全ての整数や有理数は代数的数であり、また全ての整数の冪根も代数的数である。
実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。
例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である
…
Qバーは、有理数体の無限次元の代数拡大体である。

また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、

Qバー　は　代数的閉体である。

さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、
Qバー を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/07/12 03:26

そも

｛α⊂C| αがＱ上代数的｝
ってどういう意味? 「α⊂C」は「α が C の部分集合」といっているんだけど, その (集合である) α が「Q上代数的」とはどういうこと? さらに「Q上代数的」な集合の族である「Ｑバー」が「代数的閉体」とは (あるいは「代数的閉体でない」とは) どのように定義している?

「⊂」でなく「∈」だったら, つまり
{α∈C|α が Q上代数的}
なら代数的に閉じてるよ.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0 …

この回答へのお礼

∈の記号がキーボードで入力する方法が分からなくて、⊂と入力してしまいました……
コメントありがとうございます

お礼日時：2021/07/12 09:20

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/12 02:33

Q係数ですら、5次方程式に代数解が無い場合があるからじゃない？