微分方程式y"-y'-2y=6e^(2x) を解いて下さい。よろしくお願いいたします。

微分方程式y"-y'-2y=6e^(2x) を解いて下さい。よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/21 19:32

y = z e^(2x) で変数変換すると、

y’ = z’ e^(2x) + 2z e^(2x),
y’’ = z’’ e^(2x) + 4z’ e^(2x) + 4z e^(2x) より
y’’ - y’ - 2y = 6e^(2x) は
z’’ + 3z’ = 6 となる。

この方程式に z’ = 2 という特殊解があることは自明で、
z’ = 2 + w と置くと w’ + 3w = 0 と書き換えられる。

w の方程式は、容易に解けて
w = Ae^(-3x) {A は定数} が一般解だと判る。
よって、 z = ∫ z’ dx = ∫ 2 + Ae^(-3x) dx = 2x - (A/3)e^(-3x) + B {B は定数},
y = z e^(2x) = (2x + B)e^(2x) + Ce^(-x) {C は定数；C = -A/3}.

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/21 16:54

y"-y'-2y=6e^(2x)

y"+y'-2y'-2y=6e^(2x)
(y'+y)'-2(y'+y)=6e^(2x)
↓両辺にe^(-2x)をかけると
(y'+y)'e^(-2x)-2(y'+y)e^(-2x)=6
{(y'+y)e^(-2x)}'=6
↓両辺を積分すると
(y'+y)e^(-2x)=6x+c
↓両辺にe^(3x)をかけると
y'e^x+ye^x=(6x+c)e^(3x)
(ye^x)'=(6x+c)e^(3x)
↓両辺を積分すると
ye^x=(2x+A)e^(3x)+B
↓両辺にe^(-x)をかけると
∴
y=(2x+A)e^(2x)+Be^(-x)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/21 16:46

2階非斉次微分方程式の解き方に従って

(1) まず、斉次の
　y" - y' - 2y = 0　　　　①
の一般解を求める。

(2) 次に
　y" - y' - 2y = 6e^(2x)　　　　②
を満たす特殊解を１つ求める。

(3) その和が求める一般解。

の順序で求めます。

やってみれば

(1) ①の特性方程式
　t^2 - t - 2 = 0
から
　(t - 2)(t + 1) = 0
→　t=-1, 2
なので、①の一般解は
　y = C1*e^(-x) + C2*e^(2x)　　　③

(2) ②の特殊解を、適当に当たりをつけて
　y = Axe^(2x)
とすれば
　y' = Ae^(2x) + 2Axe^(2x)
　y'' = 2Ae^(2x) + 2Ae^(2x) + 4Axe^(2x)
　　= 4Ae^(2x) + 4Axe^(2x)

なので
　y'' - y' - 2y = 4Ae^(2x) + 4Axe^(2x) - Ae^(2x) - 2Axe^(2x) - 2Axe^(2x)
= 3Ae^(2x)
よって、A=2 つまり
　y = 2xe^(2x)
が②の特殊解の1つであることが分かる。

(3) 従って、②の一般解は
　y = C1*e^(-x) + C2*e^(2x) + 2xe^(2x)