整数に関する問題の解き方を教えて頂けると幸いです。

Question

解答解説を見ても理解できなかったため、下記の問題の解説お願いします

問）３けたの整数のうち５で割ると２余り、７で割ると３余る数は全部でいくつあるか。

①25個 ②26個 ③27個 ④28個 ⑤29個

正解は②の26個でした。

数学的な公式や考え方、解法手順など詳しく教えてくださると幸いです。宜しくお願い致します。

ありものがたり · Accepted Answer

＞ N=5m+2と表せるの部分が理解できませんでした。

No.3 に書いた x = 5m+2 のことを言ってるのでしょうか？
問題の数 x は 5 で割ると 2 余るので、商を m とすれば x = 5m+2 です。

それとも、n = 5k+2 のことでしょうか？
＞ 5(m-3) = 7(n-2) と変形できます。
＞ 両辺は 5 と 7 の公倍数なので
＞ 5(m-3) = 7(n-2) = 35k (kは整数) と置くことができ、
の部分を読んでください。
5(m-3) = 7(n-2) が成り立つことから
y = 5(m-3) = 7(n-2) と置くと、
y = 5(m-3) より y は 5 の倍数
y = 7(n-2) より y は 7 の倍数なので
y = 35k {kは整数} と置けます。
7(n-2) = 35k を変形して、n = 5k+2 です。

ゼロプライム · Answer

５で割り切れる数は５の倍数なので、５×n=5n と表されます。（ｎは整数)
よって、５で割ると２余る数は、(5の倍数)+2 なので、5n+2 と表されます。

同様に７で割ると３余る数は、7m+3 と表されます。(m は整数)

５で割ると２余り、７で割ると３余る数をXとすると、
X=5n+2
X=7m+3

よって、
5n+2=7m+3
7m=5n－1……①
７の倍数で5の倍数より１小さいものをさがすと14が見つかります。
m=2 , n=3 のとき①は成り立ちます。
これより、
m=2+5k , n=3+7k , (k は整数) とすると①は成り立ちます。
①に代入してみると、
7(2+5k)=5(3+7k)－1
14+35k=15+35k－1
14=14
したがって、m=2+5k , n=3+7k と表されるとき、Xは５で割ると２余り、７で割ると３余ります。

X=5(3+7k)+2=35k+17
X=7(2+5k)+3=35k+17
つまり、Xは (35の倍数)+17 と表される数です。

k=1 のとき、X=35×1+17=35+17=52
k=2 のとき、X=35×2+17=70+17=87
k=3 のとき、X=35×3+17=105+17=122
……
k=28 のとき、X=35×28+17=980+17=997

求めるものは、3桁の整数の個数なので、
28－2=26 （個）

varietyknowledge · Answer

>5で割ると2余り、7で割ると3余る整数は整数a,bを用いて
>5a+2=7b+3と表せるの部分が理解できませんでした。
>なぜ５で割ることが5aと考えるのか教えて下さると幸いです。
>私の中では５/a+２と考えてしまいます。

具体例を挙げると、87という2桁の整数がある。

87÷5は、17余り2となる。
87÷7は、12余り3となる。

これは3桁の整数ではないけど、5で割ると2余り、7で割ると3余る整数である。
No.1の回答で示した整数a,bは、87の場合だと a=17, b=12 になる。

これを逆にみると、

5×17+2=85+2=87
7×12+3=84+3=87

となる。よって、

5×17+2=7×12+3=87

となる。
つまり、求めたい（共通の）整数を求めるためには、『割り算を掛け算に変換する』必要がある。

それを整数a,bを用いて表現すると、

5a+2=7b+3=3桁の整数

が成り立つ。

syotao · Answer

条件を満たす整数ｘは合同式
ｘ≡2（mod5）と　ｘ≡3（mod7）をみたす。これから
7ｘ≡14（mod35）、5ｘ≡15（mod35）、これから2ｘ≡-1≡34（mod35）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ≡7（mod35）
ゆえにｎを任意の整数としてｘ＝17＋35ｎ
ｘが3ケタの整数なら100≦ｘ≦999、100≦17＋35ｎ≦999これからｎは
3から28までの整数となりその個数は26
ゆえに求める整数の個数は　26

ありものがたり · Answer

５で割ると２余り、７で割ると３余る整数 x は、
x = 5m+2 = 7n+3 (m,nは整数) と表せます。
右側のイコールを整理すると、5m = 7n + 1 ですが、
5×3 = 7×2 + 1 を思いつけば、辺々引き算して
5(m-3) = 7(n-2) と変形できます。
両辺は 5 と 7 の公倍数なので
5(m-3) = 7(n-2) = 35k (kは整数) と置くことができ、
m = 7k+3, n = 5k+2 と表せます。
よって、x = 5(7k+3)+2 = 35k+17 です。
x は、35 で割ると 17 余る数ということになります。

そのような x は、３けたの整数の中に何個あるでしょうか？
{ (999 - 17)/35 の整数部分 } - { (99 - 17)/35 の整数部分 }
= 28 - 2 = 26.
26個です。

ginga_kuma · Answer

3けたの整数のうち5で割ると2余る最初の数を求めます。
100÷5=20　　5×20+2=102
102から5ずつ増えた数が5で割ると2余る数です。

3けたの整数のうち7で割ると3余る数最初の数を求めます。
100÷7=14余り2　　7×14+3=101
101から7ずつ増えた数が7で割ると2余る数です。

5ずつ増やす　　102,107,112,117,122,127
7ずつ増やす　　101,108,115,122,129

3けたの整数のうち5で割ると2余り、7で割ると3余る数最初の数は122です。

共通の数は5と7の最小公倍数35で割っていつも同じ余りの数です。
122÷35=3余り17

999に近い数で35で割って17余る数は
999÷35=28余り19　　35×28+17=997　　　1000を超えていないので、997は28番目の数です。
99以内で35で割って17余る数は
99÷35=2余り29　　35×2+17=87　　　　100を超えていないので、87は2番目の数です。

1000までに28個、100までに2個あるので、３桁の数の個数は
28-2=26個

varietyknowledge · Answer

3桁の整数のうち5で割ると2余り、7で割ると3余る数なので、a, bを自然数とすると、

5a+2=7b+3
5a=7b+1

5aは5の倍数なので、末尾がどのような自然数aを掛けても0または5にしかならない。
7bは7の倍数なので、末尾が9または4になる自然数bを探せば上の式を満たすことになる。

7の倍数で末尾が9になるのは末尾が7の自然数。
このうち、3桁の整数の最小値は17、最大値は137になる。
末尾の7を取り払うことで個数が分かるので、
13-1+1=13

7の倍数で末尾が4になるのは末尾が2の自然数。
このうち、3桁の整数の最小値は22、最大値は142になる。
末尾の2を取り払うことで個数が分かるので、
14-2+1=13

よって、条件を満たす整数は13+13=26個になる。

整数に関する問題の解き方を教えて頂けると幸いです。

＞ N=5m+2と表せるの部分が理解できませんでした。

５で割り切れる数は５の倍数なので、５×n=5n と表されます。

>5で割ると2余り、7で割ると3余る整数は整数a,bを用いて

条件を満たす整数ｘは合同式

５で割ると２余り、７で割ると３余る整数 x は、

3けたの整数のうち5で割ると2余る最初の数を求めます。

3桁の整数のうち5で割ると2余り、7で割ると3余る数なので、a, bを自然数とすると、

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