偏微分の問題です。 つぎの関数の極値を求めよ。 z＝e^{-x^2-y^2}・(ax^2+by^2)

偏微分の問題です。
つぎの関数の極値を求めよ。
z＝e^{-x^2-y^2}・(ax^2+by^2)
(a＞b＞0)

解説していただけると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/05 21:11

a>b>0

z=(ax^2+by^2)e^{-x^2-y^2}
z_x=2x(a-ax^2-by^2)e^{-x^2-y^2}=0
z_y=2y(b-ax^2-by^2)e^{-x^2-y^2}=0

z_xx=2(a-5ax^2-by^2+2ax^4+2bx^2y^2)e^{-x^2-y^2}
z_xy=4xy(-b-a+ax^2+by^2)e^{-x^2-y^2}
z_yy=2(b-ax^2-5by^2+2ax^2y^2+2by^4)e^{-x^2-y^2}

x(a-ax^2-by^2)=0
x=0またはax^2+by^2=a
y(b-ax^2-by^2)=0
y=0またはax^2+by^2=b

x=y=0
または
(x=0)&(y^2=1)
または
(y=0)&(x^2=1)

(x=0)&(y^2=1)の時
z_xx=2(a-b)e^{-1}
z_xy=0
z_yy=-4be^{-1}
(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2=-8b(a-b)e^(-2)<0だから
極値でない

x=y=0の時
z_xx=2a
z_xy=0
z_yy=2b
(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2=4ab>0
z_xx=2a>0だから
極小値z=0

(y=0)&(x^2=1)の時
z_xx=-4ae^{-1}
z_xy=0
z_yy=2(b-a)e^{-1}
(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2=8a(a-b)e^(-2)>0
z_xx=-4ae^(-1)<0だから
極大値z=ae^(-1)