No.2ベストアンサー
- 回答日時:
gcd(m,n)=d
とすると
m=sd
n=td
となる互いに素な整数s,tがある
-----------
x=amodm
x=bmodn
を満たすxが存在するとすると
mj+a=x=nk+b
となる整数j,kがある
mj+a=nk+b
mj-nk=b-a
m=sd
n=td
をmj-nk=b-aに代入すると
b-a=(js-kt)d
だから
b-a=0mod(d)
だから
∴
a=b mod(d)
-----------
s,tは互いに素だから
js+kt=1
となる整数j,kがある
jsd+ktd=d
jm+kn=d
a=b mod(d)
とすると
b-a=Ld
となる整数Lがある
これにjm+kn=dを代入すると
b-a=L(jm+kn)
b-a=Ljm+Lkn
b-Lkn=a+Ljm
だから
x=b-Lkn=a+Ljm
とすると
x=a+Ljmだから
x-a=Ljmだから
∴
x=a mod(m)
x=b-Lknだから
x-b=-Lknだから
∴
x=b mod(n)
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