確率密度関数の問題です。全くわかりません。画像の問題です。お詳しい方お願いします。

Question

ある範囲で積分すると、確率になる関数ｆ（ｘ）が確率密度関数である、というところまでは
理解できました。そこから進めません。

yhr2 · Accepted Answer

(1) 確率密度関数は、定義域全体で積分B25:B67すれば「１」になります。確率ですから。
　この問題の場合には
　　P(-∞<x<∞) = ∫[-∞→-k]０dx + ∫[-k→0]{[2/(3k)]x + 2/3}dx + ∫[0→7k]{[-1/(21k)]x + 2/3}dx + ∫[7k→8k]{-[1/(3k)]x + 8/3}dx + ∫[8k→∞]０dx
　　= 0 + [[1/(3k)]x^2 + (2/3)x][-k→0] +  [-[1/(42k)]x^2 + (2/3)x][0→7k] + [-[1/(6k)]x^2 + (8/3)x][7k→8k] + 0
　　= -[1/(3k)]k^2 + (2/3)k - [1/(42k)]49k^2 + (2/3)7k - [1/(6k)]64k^2 + (8/3)8k + [1/(6k)]49k^2 - (8/3)7k
　　= -k/3 + (2/3)k - (7/6)k + (14/3)k - (32/3)k + (64/3)k + (49/6)k - (56/3)k
　　= 4k
　　= 1
より
　k = 1/4

よって
　f(x) = 0　　(x ＜ -1/4)
　　　= (8/3)x + 2/3　　( -1/4 ≦ x ≦ 0)
　　　= -(4/21)x + 2/3　　( 0 ≦ x ≦ 7/4)
　　　= -(4/3)x + 8/3　　( 7/4 ≦ x ≦ 2)
　　　= 0　　　　　（2 < x)

(2) このグラフは書けますね？
　x = -1/4 のとき f(x) = 0
　x = 0 のとき f(x) = 2/3
　x = 7/4 のとき f(x) = 1/3
　x = 2 のとき f(x) = 0
これを直線でつなげばよいです。

(3) つまり P(-1/8≦X≦1/4) なので
　P(-1/8≦X≦1/4) = ∫[-1/8→0]{(8/3)x + 2/3}dx + ∫[0→1/4]{-(4/21)x + 2/3}dx
　= [(4/3)x^2 + (2/3)x][-1/8→0] + [-(2/21)x^2 + (2/3)x][0→1/4]
　= -1/48 + 1/12 - 1/168 + 1/6
　= 1/4 - 9/336
　= 75/336
　= 25/112

(4) つまり P(X≧1) なので
　P(X≧1) = ∫[1→7/4]{-(4/21)x + 2/3}dx + ∫[7/4→2]{-(4/3)x + 8/3}dx
　= [-(2/21)x^2 + (2/3)x][1→7/4] + [-(2/3)x^2 + (8/3)x][7/4→2]
　= -(2/21)(7/4)^2 + (2/3)(7/4) + 2/21 - 2/3 - (2/3)2^2 + (8/3)2 + (2/3)(7/4)^2 - (8/3)(7/4)
　= -7/24 + 7/6 + 2/21 - 2/3 - 8/3 + 16/3 + 49/24 - 14/3
　= 29/84

(5) 期待値 E[X] は xf(x) つまり「実現値とその確率密度をかけたもの」を全範囲で積分します。
分散は、X^2 の期待値 E[X^2] （つまり x^2 * f(x) の全範囲の積分）を使って
　V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
で求めます。

(6) 分布関数とは、「-∞からその値までの累積確率」です。
つまり
　F(x) = ∫[-∞→x]f(t)dt
で求まります。

(5)(6) は、時間がないので、とりあえずご自分でやってみてください。
ねじり鉢巻きでうんうん言いながら計算すれば求まるでしょう。
テクニックは不要で、体力勝負なだけです。

yhr2 · Answer

No.2 です。

計算してみれば

(5) E[X] = 3/4
　V[X] = 31/96

(6) F(x) = 0　　　　　（x<-1/4)
　　　　= (4/3)x^2 + (2/3)x + 1/12　（-1/4≦x≦0)
　　　　= -(2/21)x^2 + (2/3)x + 1/12　（0≦x≦7/4)
　　　　= -(2/3)x^2 + (8/3)x - 5/3　（7/4≦x≦2)
　　　　= 1　　　　　（2<x)
　　　　
かな。計算違いがあるかも。

ありものがたり · Answer

(1)
関数が確率密度関数になる条件は、
・ 値が全て ≧0 であること。
・ 定義域全域上で積分したら値が 1 になること。
これだけです。
全域上の積分が 1 になるような k を求めてみましょう。
積分の値を k の式で表してから、方程式を解けばよいです。
(2)
各区間でのグラフが線分だから、これは簡単ですね。
(3)
先に求めた k の値を使って
P(-k/2 ≦ X ≦ k) = ∫[-k/2, k] f(x) dx を計算するだけです。
(4)
これも、先に求めた k の値を使って
P(X ≧ 4k) = ∫[4k, +∞] f(x) dx = lim[b→+∞] ∫[4k, b] f(x) dx
を計算するだけです。
(5)
期待値は μ = ∫[-∞, +∞] x f(x) dx,
分散は ∫[-∞, +∞] (x-μ)^2 f(x) dx です。
積分を、問題文中の f(x) を表す式で出てきた区間で
区切って計算しましょう。
(6)
F(x) = ∫[-∞, x] f(t) dt です。 これも
積分を、問題文中の f(x) を表す式で出てきた区間で
区切って計算しましょう。

確率密度関数の問題です。全くわかりません。画像の問題です。お詳しい方お願いします。

(1) 確率密度関数は、定義域全体で積分B25:B67すれば「１」になります。

No.2 です。

(1)

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング