三角関数の問題です

原点を通り、x-√3y+1=0 と π/4の角をなす直線の方程式を求める問題です
答えはy=(√3±2)x なのですが、傾きが(√3-2)となる時ってどうやって式を立てたらいいですか？
私が解くとプラスの方の答えしか出て来ません…。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/19 10:54

ちなみに、ある直線に対して π/4 の角をなす直線は、

図形的に考えれば、2本あって互いに直角であることは明らか。
傾きが (√3 + 2) であるものを見つけたのなら、
それと直角になる傾き -1/(√3 + 2) = √3 - 2 のものにも
気が付けるとよかった。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/19 10:51

x - √3y + 1 = 0 と x軸がなす角を θ と置くと、

この直線の傾きは 1/√3 = tanθ.

この直線と π/4 の角をなす直線の傾きは
tan(θ ± π/4) で、
傾きが判れば、原点を通る直線の式は
y = x tan(θ ± π/4) となる。

tan の加法定理を使って傾きを求めよう。
一方は、
tan(θ + π/4) = { tanθ + tan(π/4) } / { 1 - tanθtan(π/4) }
　　　　　　　= { 1/√3 + 1 } / { 1 - (1/√3)1 }
　　　　　　　= { 1/√3 + 1 } / { 1 - 1/√3 }
　　　　　　　= { 1 + √3 } / { √3 - 1 }
　　　　　　　= { (1 + √3)(√3 + 1) } / { (√3 - 1)(√3 + 1) }
　　　　　　　= { 3 + 2√3 + 1 } / { 3 - 1 }
　　　　　　　= { 2√3 + 4 } / 2
　　　　　　　= √3 + 2.
他方は、
tan(θ - π/4) = { tanθ - tan(π/4) } / { 1 + tanθtan(π/4) }
　　　　　　　= { 1/√3 - 1 } / { 1 + (1/√3)1 }
　　　　　　　= { 1/√3 - 1 } / { 1 + 1/√3 }
　　　　　　　= { 1 - √3 } / { √3 + 1 }
　　　　　　　= { (1 - √3)(√3 - 1) } / { (√3 + 1)(√3 - 1) }
　　　　　　　= { - 3 + 2√3 - 1 } / { 3 - 1 }
　　　　　　　= { 2√3 - 4 } / 2
　　　　　　　= √3 - 2.

θ の値を求めなかったことに注目してほしい。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 09:51

x-(y√3)+1=0

x+1=y√3
y=(x/√3)+(1/√3)
y=xtan(π/6)+(1/√3)
の傾きはtan(π/6)で
それとπ/4の角をなす直線の傾きは
tan(π/6±π/4)
だから

tan(π/6+π/4)=tan(5π/12)
または
tan(π/6-π/4)=-tan(π/12)

{tan(5π/12)}^2
={sin(5π/12)/cos(5π/12)}^2
={1-cos(5π/6)}/{1+cos(5π/6)}
=(1+√3/2)/(1-√3/2)
=(2+√3)/(2-√3)
=(2+√3)^2
だから
tan(5π/12)=2+√3

{tan(π/12)}^2
={sin(π/12)/cos(π/12)}^2
={1-cos(π/6)}/{1+cos(π/6)}
=(1-√3/2)/(1+√3/2)
=(2-√3)/(2+√3)
=(2-√3)^2

tan(π/12)=2-√3
だから
-tan(π/12)=√3-2