res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z) において、
f(z)=1/(z^2-1)はkが1なので、
かつ1/(z^2-1)の分母に含まれる変数zより、
z=1(z→1)とz=-1(z→-1)の二つの場合分けがある。
0<|z-1|<2と2<|-1-1|の場合わけとして、z=1or-1がありますが、
a(n)
=res(1/(z^2-1),1)
=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
(k=1の時)
=1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
=lim[z->1]1/(z+1)
と導けたのですが、正しいでしょうか?
そして、
(k=-1の時)
=1/(-1-1)! lim[z->1](d/dz)^(-1-1)(z-1)^-1 1/(z^2-1)
=lim[z->1]1/(-2)! (d/dz)^(-2) 1/(z+1)(z-1)^2
と導けたのですが、正しいでしょうか?
また、
要はk=1のような、f(z)=1/(z^2-1)のような式の時だけres (f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a]
(d/dz)^(k-1) (z-a)^kf(z)が使えるわけでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
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