ωをω^6＝1を満たす複素数とする。f(z)＝1/1+z^6 のときf(z)のωでの留数Res[f(

ωをω^6＝1を満たす複素数とする。f(z)＝1/1+z^6 のときf(z)のωでの留数Res[f(z),ω]をωで表せ。
この問題において、位数が1となるのが分かりません。
教えてくださいm(_ _)m

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/22 23:17

式にはカッコを正しくつけないと意味わからんですが、おそらく

　　f(z) = 1/(1 + z^6)
ってことでしょうかね。そうだとすると6つあるωのどれについても
　　f(ω) = 1/2
だから「位数が1となるのが分かりません」ってのも当然かと思います。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2022/12/22 22:23

問題よく見て投稿しないと笑。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/22 19:20

1/1+z^6

と書くと
(1/1)+z^6=1+z^6
という意味になります

f(z)=1/(1+z^6)
の場合は
分母(1+z^6)=0となる点すなわち
z^6=-1となる点zが特異点になるので
ω^6=1となる点ωは特異点にならないから
ω^6=1は間違いです
問題が間違っています
元の問題では
ω^6=-1
となっていたのに書き写すときに
ω^6=1
と(-)を外してしまったのでは?
元の問題を再度確認願います

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/12/22 17:49

f(z)=1/(1-z^6)

ですか?
そうでないと#1の方がおっしゃられたようにf(z)はz=ωで正則。

もし、f(z)=1/(1-z^6)であるなら
>この問題において、位数が1となるのが分かりません。
は簡単。lim[z→ω] f(z)*(z-ω)が0以外に収束することが言えればよい。
ロピタルの定理を使って計算してもよいし、α=cos(π/3)+i*sin(π/3)と置くと
z^6-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
と因数分解できることと、ωが1,α,α^2,α^3,α^4,α^5のいずれかであることから(z-ω)/(1-z^6)が約分できることがわかるはずです。

(一つ注意しておくとz^6-1=(z-1)(z-ω)(z-ω^2)(z-ω^3)(z-ω^4)(z-ω^5)とはなりません。)

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/22 15:29

分からないのが正しい。

その f(z) が (1/1) + z^6 じゃなく 1/(1 + z^6) のつもりだったとしても、
f(z) は z = ω において正則で、Res[f(z),ω] = 0 にしかならない。
z = ω は f(z) の位数 1 の極ではない。