変な世界での双子のパラドックス

現実の宇宙ではなく仮想の宇宙です。その宇宙は相対性理論は成立するとします。

その宇宙は膨張も収縮もせず、また、完全に平坦です。そして、構造は三次元トーラスになっています。ちなみに、二次元トーラスはドーナツの表面のような閉じた世界で、真っ直ぐいくともとのところに戻ってくるような世界です。ただ二次元トーラスは曲がっていますよね。しかし、三次元トーラスというのは、閉じているにもかかわらず空間が平坦なままなのだそうです。ゲームの世界で端っこと、反対の端っこがつながっているような感じです。

前置きが長くなりましたが、
そんな世界での双子のパラドックスをするとどうなるのかと思って質問したくなりました。

・・・・・
その宇宙で、双子の兄弟がそれぞれ宇宙船で亜光速で逆方向に等速直線運動をしています。

あるとき、兄弟はすれ違います。兄弟はどちらも20歳です。

ここからは、兄の立場にします。兄が40歳のとき、再び弟とすれ違いました。なぜ、スレ違うかというと、宇宙が閉じているからです(しかも平坦なまま閉じています)。

このとき、弟の年齢は40歳よりも若いでしょうか。それとも、兄と同じ年齢でしょうか。

それを確かめるために、すれ違うとき、兄は弟に無線で「僕はいま、40歳だけど、君は何歳か」と訪ねます。弟からはどんな返事がくるでしょうか。

普通の双子のパラドックスは弟が地球で待っていて兄は旅にでますが、兄は出発時と折り返し時と帰還時に加速度運動をするため2人の運動は対称ではありません。しかし、これの場合、対称です。

平坦な宇宙で等速直線運動をするというだけで、兄と弟は再開できてしまいます。

特殊相対性理論では、相手の時間が遅く進むのは、お互い様です。

兄からみると自分が40歳で、弟は40歳よりも若いし、弟からみると自分は40歳で兄は40歳よりも若いのではないでしょうか。

それが、再会できなければ、何の問題もないですが、この世界では(すれ違うとき)再会できてしまいます。

兄が「君は何歳だ？」と聞いたら、弟の返事はどんなものになるのでしょうか。

一方、二人は対称な運動をしているのだから、年齢がズレるのは変な気もします。


どうなるのか、教えてください。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  
  まず、兄弟が再会するためには閉じた宇宙がほしかったです。
  で、もしも、空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら、閉じているけど、よろしくありません。空間が曲がっている関係で、お互いに相手の年齢はズレていっても、宇宙を1/4周したあたりから、相手の年齢は自分に近付いてきて、スレ違うときには一致するような気がします。(たぶん、そうですよね)
  
  平坦ということにこだわったのは、一般相対性理論を考えなくていいように、完全に等速直線運動をさせたかったからです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 02:03

• ご回答ありがとうございます。
  
  逆方向に飛んでいると書きましたが、平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。運動は相対的だから、兄は自分が静止していて弟だけが(例えば)0.9999cで飛んでいると見るし、弟は自分が静止して兄が0.9999cで飛んでいると見るのではないですか。で、0.9999cで飛んでいる物体の時間はゆっくり進むのではないですか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 03:43

• ＞大域的(global)には区別ができるという話をしてます。
  
  つまり、その宇宙の絶対静止系みたいなものがあって、それに対する運動を考えるということですか。また、特殊相対性理論もうまく成立しないということですか。
  
  宇宙に方眼用紙みたいなものはないのに、どうやって、絶対静止系というのを定義するのですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 10:29

• #4について。
  ＞前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
  
  この理屈がわかりません。
  視点は兄なら兄においていいのですか。ここで、見立てとして、宇宙が空間的に同じものが繰り返していて、兄が分身の術のように複数いると見立てると、兄にとって、前にいる兄も後ろにいる兄も静止していると思います。そして、距離も前後で同じですよね。全てが静止し、同じ距離を一定の速度の光が進む時間は同じではないのですか。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 19:05

• ＞宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、
  同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。
  
  それはそうだと思います。膨張と収縮は、2人の間の空間の目盛りが増えたり減ったりするだけで、いわば、兄弟はほとんど同じ位置で互いに静止していたのと変わらないのではないでしょうか。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 23:00

• ＞反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。・・・
  
  この一連の意味がわかりません。時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。
  それはそれとして、
  兄からみて弟の速度をv(亜光速)とするとc＞vです。だから、どちら周りでも光が一周する時間よりも弟が一周する時間の方が少し長くかかるのではないですか。
  
  ＞兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
  
  弟には同時には届きません。弟を追いかける方向の光(時計まわり)は長くかかるし、弟の進行方向と逆の光(反時計まわり)は早く届きます。
  
  ＞弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？
  
  特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。
  
  それで、もし不都合が起きたらどう説明するかは私はわかりません

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:01

• 特殊相対性理論が成立する宇宙という設定です。ただし、構造が変なので、成立させられるかどうかは別です。そこが質問です。
  
  普通の特殊相対性理論の世界、すなわち、平坦で無限に広い宇宙なら、兄と弟がすれ違ったあとは、離れるだけの状態で、これの場合、二人の運動が対称であっても兄の視点で自分が40歳のとき、弟は21歳だったりしますよね。弟の視点でもそうですよね。これで問題ないのが特殊相対性理論です。あくまで、観測者視点だからです。再会することもないですし。
  
  この質問の場合、再びすれ違うことが発生してしまって、2人は同じ場所にいて、時間ロスなしに相手の年齢を聞くことができてしまいますが、特殊相対性理論によると、弟からは「21歳だ」という返事が来そうです。しかし、それはそれで、変な感じです。だから、よくわからなくて質問しています。

  No.13の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:16

• よく分からないので式で書きます。兄と弟は互いに相対速度vで逆向きに運動しているとします。兄からみても弟からみても宇宙1周の距離はＬとします(兄や弟の速度と宇宙一周の距離の関係はどんなときも同じか変化するかは私はわかりません。考える基準として宇宙を絶対静止みたいに想定できるのかもわかりません)
  
  ①兄の視点
  ・前方でも後方でも発射した光が兄に戻ってくる時間→Ｌ/c
  ・前方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c-v)
  (発射と同時に届く光ではなくて、その次に届く光)
  ・後方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c+v)
  
  ②弟の視点
  ①の文章で兄と弟を入れかえたものになります。
  
  何か問題はありますか。
  
  あと、相手方の時間遅れは兄からみて弟でも弟からみて兄でも
  t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です。当質問の計算でこれを使うと不都合が起きたとしても、その解決法は私はわかりません。

  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 16:54

• 分身と書いたのは、宇宙の距離を把握するための便宜上のことです。実際には、兄はここに１人しかいません。１人しかいないので、兄の時間t=0は1通りしかありません。弟も同じです。

  No.17の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 21:02

• 冒頭に「互いに静止している2つの時計」を比べると書いてあるので流れでいくと、ここにいる兄と見えている兄の時計を比べる話かと思いきや、弟と比較しています。兄からみて弟の時計は運動しています。定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。
  
  もう、これで補足を使い果たしました。終わりそうにないのが残念です。
  
  質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。すると特殊相対論では兄の視点で兄が40歳のときは弟は25歳ですよね。また、弟の視点で弟が40歳のときは兄は25歳ですよね。そのとき再びすれ違うようにします。至近距離ですれ違うという出来事は兄弟で共通しています。兄の視点で兄が40歳の時に弟に年齢を尋ねたら弟からは何歳という返事がきますか。
  
  これ、わかりません。結論としては、平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか

  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 12:16

No.39 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/29 12:55

前にも似たような話を書いたはずですが。

ゲーマーの視点でも兄の視点でも
後方に出した光→前方に出した光
の順になる。これだけです。
装置破壊を考えても両者で順番は変わらないので、タイムパラドックスも発生しません。


> ところが常識に照らして破綻しているように見えます。どうにかならないですか。
どうにかする必要はあるのですか？理論は理論、常識は常識です。食い違っているように見えても理論or常識の二者択一ではないのですよ。
理論を理解したいのなら、常識の中のどこを修正すれば破綻がなくなるのかをお考えになれば理論の理解にはつながるでしょう。
それでもやっぱりおかしいと思うのなら理論の中から矛盾(常識との矛盾は理論の中にある矛盾ではありません)を探すか、そう言う理論なのだと思うかでしょう。

幸い、相対論での議論のほとんどは、計量テンソルの符号を変えて同じ議論をするだけで、ユークリッド空間で考えた時の話に置き換わります。ずっとイメージのしやすいものになるはずです。ユークリッド空間での議論も破綻しているように見えるのかが大きなヒントになるのでは。何がどう対応するのかを考えるのは慣れが必要だと思いますが。
例えば、一周先の自分と同時刻ではない(=時空図上で時間軸に沿って進んだ先に同じ時刻の自分がいない)という話は、#19に書いたような(トーラス上で)シンガポールから東北東に真っ直ぐ進んだ先にシンガポールがないという話に置き換わります。

No.38 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/28 17:46

> これを兄視点でいうと、前後に同時に光を発射した後、受信機Aが破壊されます。

そのあと、光は同時に戻ってきます。ただし、受信機Aは破壊されているので後方に出した光しか受信できません。

んー、前後の光は同一の受信機で受信するつもりで書いてましたが、
前方と後方で別の受信機を使ってるという設定にしたと言う事で良いですね？

では兄は一方の受信機が破壊されたら、即座に他方の受信機を破壊する行動を取るとします。

従って兄の視点では、
同時に光を発射
→受信機Aの破壊
→受信機Bが破壊
→光が同時に戻ってくるが、どちらの光も受信できない
こうなるはずですね。

これをゲーマーの視点で見ると受信機Bの破壊はいつ実施されるのですか？
受信機Bの破壊かまなければ次の通りでした。

同時に光を発射
→受信機Bが光を受信
→受信機Aの破壊
→受信機Aに光が届くが壊れてるので受信できない

Bの破壊がどこに入り、光を受信するかどうかがどう変わるのかお書き下さい。

なお、「受信機Aの破壊」は「受信機Bが光を受信」の後に行われる事が話の前提にある事を忘れないで下さい。つまり、もしも「受信機Bに光が届くが壊れているので受信できない」に変わるのならで受信機Aは破壊されないという事です。


同一地点同一時刻で起こった現象は誰が見ても同一地点同一時刻で起こると考えないと、簡単にタイムパラドックスが発生しますよ。

No.37 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/28 15:14

ミンコフスキー空間Mと空間的ベクトルaについて、

Mの元x_1,x_2の元に対して関係〜を
x_1〜x_2 ⇔ x_1-x_2がaの整数倍
により定義して、同値類M/〜を念頭に全ての性質やら計算方法やらを書いています。

これでミンコフスキー空間の構造を局所的には壊さずに周期性が入るからです。

このやり方では具体的な計算は常に(M/〜ではなく)M上で行うイメージになります。分身というのはM上では普通に存在するし、明確に本人と区別される対象です。

もちろん、他の構成方法もあるでしょう。他の構成方法では違う話になるかもしれません。

分身の登場しない他の構成方法が良いのならそれでも構いませんが、その場合には具体的な周期構造の入れ方を正確に定式化して下さい。

それができないのなら上記のように扱って下さい。
何を言ってるのか分からない(けど理解したい)のなら同値類の勉強をして下さい。数学的な議論に嫌悪感があるのならそう言うものだと受け入れて下さい。

No.36 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/28 12:31

最終的に対称な場合を考えるなと言ってるのではありません。

それを考えるには周期構造を入れた空間がどんな空間か理解しないと話が進まないので、まずはもっとシンプルな場合でどんな空間か理解する所から始めよと言っていてるのです。
対称な場合はその後で考えるのではいけない理由は何かあるのですか？



> ・この式はどうやって導出されるのですか。

私はここまで面倒な計算はしてないけど、貴方は以下のように導出するのがいいでしょう。

例えば静止系視点で
兄はx=utと運動するとします。この兄が持つ時計の時刻はτ=t√(1-u^2/c^2)なので、
時刻τを持つ兄は(x,t)=(uτ_0/√(1-u^2/c^2), τ_0/√(1-u^2/c^2))にいます。
弟はx=-utで運動する以外は同様に考えます。
手元の時計が10年の時に出会うように一周の距離Lを決めると、
n周先の兄の時計の時刻がτになるのは、
(x,t)=(nL+uτ_n/√(1-u^2/c^2), τ_n/√(1-u^2/c^2))
です。m周先の弟も同様に求めます。

これらを兄静止系にローレンツ変換し、兄の時計τ_0を指すのと同時刻に、弟や分身の時計がいくらになってるのかお考え下さい。


> ・t=0のとき前方では40年の兄(n=1)と8年の弟(m=1)がスレ違っているのですか。

はい。

>・スレ違った直後の後方の弟(m=0)も本当はこれからスレ違う予定の弟です。で、それを見続けるとスレ違うとき式によると2年です。そして、その横の兄(n=-1)は式によると-30年になりますが、いいのですか。

具体的に何が問題だとお考えなのか書いてくれないといいですとしか書きようがありません。

光円錐の外側の事象について、時刻の順番が入れ替わる話は相対論を勉強していれば普通に出てくる話です。それを知らないのなら相対論を勉強して下さい。知ってるのならその話と何が違ってその違いがどんな問題を引き起こすのか具体的にお書き下さい。



>兄が前後に出した光が再び兄に戻るのは光速度不変だとすると前方と後方で違いが出ます。

では、一方の光が届いた後で、かつ、他方の光が届く前のタイミングで、兄の持つ光の受信機を破壊作業を開始し、【有限の時間】が経った後に破壊が完了、その後に他方の光が兄の所にくるけど受信機が壊れてるので兄は受信できない、という事にします。

> で、兄視点では前方も後方も光が戻ってくる時間は同じだと思います。

兄視点では受信機破壊作業の開始と完了それぞれいつ(光が届く瞬間より前/後/同時)になりますか？片方だけ受信できる事を兄がどう理解するのかもお書き下さい。

何度か書いたはずですが、
相対論では同一位置同一時刻に起こったかどうかは万人に共通です。この前提が崩れたら事象が起こった位置とか時刻すらまとまに定義できなくなります。
こういう大前提になる話から説明が必要なら、まずは普通の相対論から勉強して下さい

No.35 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/28 10:19

> しかし、私はもともと何もない宇宙に対する速度など想定できないという立場です。

具体的に測定する方法も書いたのですが。。。

貴方が定義できないと言ってる根拠と同じ理屈で、こんな事まで言えてしまいます。

ある慣性系にいる兄視点でマクスウェル方程式が成り立つ
兄に対して【ガリレイ変換】した弟の視点を考える。
相対性原理を仮定しているので、弟視点でも同じマクスウェル方程式が成り立つ。

弟視点でも同じ結論になると期待するのはいいのですが、本当にそうであるかは願望で決めるのではなく、兄が見ている事を弟視点に翻訳した時に同じ形になってるかで決める話です。

No.34 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/28 09:48

>時間のテンポが同じで場所ごとに時刻を決めてある場合、時間の足し算や引き算をしたければ、どこかの都市の時刻に換算して揃えてからやります。



ではトーラスについても同じようにやらなければいけません。
相対論では簡単に離れた2地点の同時刻がずれるので、貴方の考えでは

時刻がずれていない事を確認してから差を取る
時刻がずれているのなら、その時間差を考慮して差をとる

のどちらかをせねばならないと言う話になるはずです。

貴方は無批判に同じ時刻であって欲しいと思って前者としているだけです。
前者のやり方をするのなら、#18に書いたような定義に基づいて時刻のずれがない事を確認せねばなりません。

実際確認すると同時刻ではない(正確には同時が定義できない)という話になるのです。


> 地球を北極の上空からみたとき太陽の方向 …


ではロンドンに着いた後アメリカを通り東京に戻ったとします。東京を出発してから36時間で東京に戻った事にしますと、

東京に飛行機が戻ってきた時、東京と飛行機は12時(太陽の真裏)の位置にいます。

東京は36時間の間に1周半まわりますが、飛行機は半周分しか回りません。飛行機から見た「地上の時計」は12時間しか進みません。
どちらも「到着時の東京の時刻」と出発時の東京の時刻の差を念頭に置いた量になりますが、値は違います。
「地球を1/4周したあたりからいずれかの時計のテンポがずれる」のような理由で解決する話ではないですよね。


> そもそも、分身は存在しないのだから、実体のないものの運動は計算できないと思います。

円運動などで、ボールの初期位置がθ=100°と思った時と、θ=460°と思った時に運動方程式を解いたら階にはどんな違いがありますか？「460°の方は分身だから計算できない」と言うのでしょうか？
やってる事はこう言う話と何も変わらないのですが。


> 時差と本質問を対比させる意味がわかりまん。
時差を使っても世界を一周した弟視点と同じ現象が起こるからです。

> 図は文字が潰れています。なので、説明の詳細が分かりません。
残念です。。。

No.33 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/26 19:42

√(1-v^2/c^2)と1/√(1-v^2/c^2)の両方がキリの良い数字じゃないと端数が出てしまうので√(1-v^2/c^2)=1/5となるようなvを選んだという事にします。

(このvは貴方が0.96cとした部分の値に対応します)

兄の持つ時計の時刻がt年の時、兄視点では次が同時刻です

n周前方の兄→40n+t 年
m周前方の弟→8m+t/5 年

nとmは整数で、+1が前方、-1が後方、0が本人に対応し、前方後方は兄から見たものです。

例えば、t=10の時、兄(n=0)と前方の弟(m=1)が再会しますが、
兄(n=0)の時刻は10年
前方の弟(m=1)の時刻は10年

なお、先にも書きましたが、必要以上に話を複雑にしない事をお勧めします。最終的にその設定で考えるのは自由ですが、最初から複雑にする意味はありません。
貴方の設定では「兄」「弟」「静止系」という３者の視点があります。兄と弟のうち一方を「静止系」におけば2者の視点のみになります。

※まだ残務があるので#32お礼に関しては明日以降になります

No.32 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/24 15:42

すみませんが、多分明日か明後日くらいまでゆっくり考える時間がないので、とりあえず簡単にコメントだけ。

>これは対称の運動だという論理だけでそう思います。

についてですが、

特殊相対論が成り立つと仮定したのはあくまでも局所的な話です。局所的でない状況とは具体的には周期境界条件を考えた時と思えば十分です。

貴方の言う対称の運動とは兄弟が互いの運動をどう見るか(局所的な話)にしか着目してないように見えます。しかし、再開するには周期境界条件を考える事が必要なので、再会する事を考えると言う事は局所的でない状況を考えるという事に他なりません。
なので、局所的に対称であるという話から再開後にどうなるかは一概に言えません。周期境界条件が対称(=空間そのものが対称)かどうかによって、再会時の結論が変わる事になります。

兄弟が空間が対称と見ているのか(非対称と見ているのなら非対称さの程度)を含めて「対称」と言ってるのなら別にいいのですが、そこは考慮してないように見えたのでコメントまで。

No.31 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/22 22:39

どこまで数学的に厳密な書き方をして欲しいのかわかりませんが、要求しているのは任意の点の任意の近傍で特殊相対論が厳密に成り立つ事と空間方向の周期性がある事くらいです。

あなたが大切にしている法則の中に絶対時間が存在するという法則（またはそれと同等のもの）があり、それと特殊相対論が矛盾しているだけだと思います。当初のご質問の内容からするとそういう仮定はおこうとは思ってないだろうと思ったので、貴方が間違っているという言い方をしていますが、絶対時間が存在するという前提で考えてはいけない、といってる訳ではありません。

曲率テンソルは至る所で0なので、エネルギー運動量テンソルが至る所で0の時の厳密解です
数学基礎論には明るくないのですが、ユークリッド幾何学の無矛盾性は証明不可能な問題だったように思います。ミンコフスキー幾何学やリーマン多様体の無矛盾性も同様に証明できないはずです。

今までずっとスマホでしたが、昨日タブレットを入手したので時空図のイメージを描いてみました。読めるんでしょうか。どのくらいの解像度になるのかわからないので何が描いてあるのかわからなかったらごめんなさい（なお、思うように描けずに結構イライラしたので今後もこういう絵を描けるとは思わないでほしいです。。。）

兄（青系の色）は静止系、弟（赤系の色）は兄に対して運動しているという想定です。具体的速度を想定して描いてはいないので、傾きとか長さとかは適当です。
グレーの部分は本来は周期的なの存在しない部分ですが、平面上に描いている関係で便宜上書いていると思って貰えば良いです。
周期性があるということを意識するのなら、背景白のところだけを切り出して、兄の世界線上にある記号（兄の時計が0、1、2などを指すイベントと思ってください）のところが重なるように丸めて筒を作るような形になります。
一番下の◆のところが、兄と弟の時計が時刻0を指すというイベントです。兄の視点でx＝0上にある◆とx＝L上にある◆が同時刻になるのなら、弟視点では同時刻になりませんよね。

未来の自分と同時刻ということになってしまいますが、これは（全宇宙で通用する）同時刻を弟が定義できないのだと解釈するのが普通です。トーラスだから起こるというよりも一般相対論では普通に起こる状況です。

No.30 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/22 19:18

>同じ慣性系にいるので同時だと思います。

兄と兄の分身は全ての時刻が一致します。

結論は正しいので読み飛ばしてましたが、理由はおかしいですね。

(例えば地球の自転を無視すれば)東京とロンドンは同じ慣性系なので、東京とロンドンの時計は全て一致している
こんな話をしているようなものです