変な世界での双子のパラドックス

現実の宇宙ではなく仮想の宇宙です。その宇宙は相対性理論は成立するとします。

その宇宙は膨張も収縮もせず、また、完全に平坦です。そして、構造は三次元トーラスになっています。ちなみに、二次元トーラスはドーナツの表面のような閉じた世界で、真っ直ぐいくともとのところに戻ってくるような世界です。ただ二次元トーラスは曲がっていますよね。しかし、三次元トーラスというのは、閉じているにもかかわらず空間が平坦なままなのだそうです。ゲームの世界で端っこと、反対の端っこがつながっているような感じです。

前置きが長くなりましたが、
そんな世界での双子のパラドックスをするとどうなるのかと思って質問したくなりました。

・・・・・
その宇宙で、双子の兄弟がそれぞれ宇宙船で亜光速で逆方向に等速直線運動をしています。

あるとき、兄弟はすれ違います。兄弟はどちらも20歳です。

ここからは、兄の立場にします。兄が40歳のとき、再び弟とすれ違いました。なぜ、スレ違うかというと、宇宙が閉じているからです(しかも平坦なまま閉じています)。

このとき、弟の年齢は40歳よりも若いでしょうか。それとも、兄と同じ年齢でしょうか。

それを確かめるために、すれ違うとき、兄は弟に無線で「僕はいま、40歳だけど、君は何歳か」と訪ねます。弟からはどんな返事がくるでしょうか。

普通の双子のパラドックスは弟が地球で待っていて兄は旅にでますが、兄は出発時と折り返し時と帰還時に加速度運動をするため2人の運動は対称ではありません。しかし、これの場合、対称です。

平坦な宇宙で等速直線運動をするというだけで、兄と弟は再開できてしまいます。

特殊相対性理論では、相手の時間が遅く進むのは、お互い様です。

兄からみると自分が40歳で、弟は40歳よりも若いし、弟からみると自分は40歳で兄は40歳よりも若いのではないでしょうか。

それが、再会できなければ、何の問題もないですが、この世界では(すれ違うとき)再会できてしまいます。

兄が「君は何歳だ？」と聞いたら、弟の返事はどんなものになるのでしょうか。

一方、二人は対称な運動をしているのだから、年齢がズレるのは変な気もします。


どうなるのか、教えてください。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  
  まず、兄弟が再会するためには閉じた宇宙がほしかったです。
  で、もしも、空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら、閉じているけど、よろしくありません。空間が曲がっている関係で、お互いに相手の年齢はズレていっても、宇宙を1/4周したあたりから、相手の年齢は自分に近付いてきて、スレ違うときには一致するような気がします。(たぶん、そうですよね)
  
  平坦ということにこだわったのは、一般相対性理論を考えなくていいように、完全に等速直線運動をさせたかったからです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 02:03

• ご回答ありがとうございます。
  
  逆方向に飛んでいると書きましたが、平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。運動は相対的だから、兄は自分が静止していて弟だけが(例えば)0.9999cで飛んでいると見るし、弟は自分が静止して兄が0.9999cで飛んでいると見るのではないですか。で、0.9999cで飛んでいる物体の時間はゆっくり進むのではないですか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 03:43

• ＞大域的(global)には区別ができるという話をしてます。
  
  つまり、その宇宙の絶対静止系みたいなものがあって、それに対する運動を考えるということですか。また、特殊相対性理論もうまく成立しないということですか。
  
  宇宙に方眼用紙みたいなものはないのに、どうやって、絶対静止系というのを定義するのですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 10:29

• #4について。
  ＞前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
  
  この理屈がわかりません。
  視点は兄なら兄においていいのですか。ここで、見立てとして、宇宙が空間的に同じものが繰り返していて、兄が分身の術のように複数いると見立てると、兄にとって、前にいる兄も後ろにいる兄も静止していると思います。そして、距離も前後で同じですよね。全てが静止し、同じ距離を一定の速度の光が進む時間は同じではないのですか。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 19:05

• ＞宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、
  同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。
  
  それはそうだと思います。膨張と収縮は、2人の間の空間の目盛りが増えたり減ったりするだけで、いわば、兄弟はほとんど同じ位置で互いに静止していたのと変わらないのではないでしょうか。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 23:00

• ＞反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。・・・
  
  この一連の意味がわかりません。時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。
  それはそれとして、
  兄からみて弟の速度をv(亜光速)とするとc＞vです。だから、どちら周りでも光が一周する時間よりも弟が一周する時間の方が少し長くかかるのではないですか。
  
  ＞兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
  
  弟には同時には届きません。弟を追いかける方向の光(時計まわり)は長くかかるし、弟の進行方向と逆の光(反時計まわり)は早く届きます。
  
  ＞弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？
  
  特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。
  
  それで、もし不都合が起きたらどう説明するかは私はわかりません

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:01

• 特殊相対性理論が成立する宇宙という設定です。ただし、構造が変なので、成立させられるかどうかは別です。そこが質問です。
  
  普通の特殊相対性理論の世界、すなわち、平坦で無限に広い宇宙なら、兄と弟がすれ違ったあとは、離れるだけの状態で、これの場合、二人の運動が対称であっても兄の視点で自分が40歳のとき、弟は21歳だったりしますよね。弟の視点でもそうですよね。これで問題ないのが特殊相対性理論です。あくまで、観測者視点だからです。再会することもないですし。
  
  この質問の場合、再びすれ違うことが発生してしまって、2人は同じ場所にいて、時間ロスなしに相手の年齢を聞くことができてしまいますが、特殊相対性理論によると、弟からは「21歳だ」という返事が来そうです。しかし、それはそれで、変な感じです。だから、よくわからなくて質問しています。

  No.13の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:16

• よく分からないので式で書きます。兄と弟は互いに相対速度vで逆向きに運動しているとします。兄からみても弟からみても宇宙1周の距離はＬとします(兄や弟の速度と宇宙一周の距離の関係はどんなときも同じか変化するかは私はわかりません。考える基準として宇宙を絶対静止みたいに想定できるのかもわかりません)
  
  ①兄の視点
  ・前方でも後方でも発射した光が兄に戻ってくる時間→Ｌ/c
  ・前方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c-v)
  (発射と同時に届く光ではなくて、その次に届く光)
  ・後方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c+v)
  
  ②弟の視点
  ①の文章で兄と弟を入れかえたものになります。
  
  何か問題はありますか。
  
  あと、相手方の時間遅れは兄からみて弟でも弟からみて兄でも
  t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です。当質問の計算でこれを使うと不都合が起きたとしても、その解決法は私はわかりません。

  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 16:54

• 分身と書いたのは、宇宙の距離を把握するための便宜上のことです。実際には、兄はここに１人しかいません。１人しかいないので、兄の時間t=0は1通りしかありません。弟も同じです。

  No.17の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 21:02

• 冒頭に「互いに静止している2つの時計」を比べると書いてあるので流れでいくと、ここにいる兄と見えている兄の時計を比べる話かと思いきや、弟と比較しています。兄からみて弟の時計は運動しています。定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。
  
  もう、これで補足を使い果たしました。終わりそうにないのが残念です。
  
  質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。すると特殊相対論では兄の視点で兄が40歳のときは弟は25歳ですよね。また、弟の視点で弟が40歳のときは兄は25歳ですよね。そのとき再びすれ違うようにします。至近距離ですれ違うという出来事は兄弟で共通しています。兄の視点で兄が40歳の時に弟に年齢を尋ねたら弟からは何歳という返事がきますか。
  
  これ、わかりません。結論としては、平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか

  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 12:16

No.20 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/15 16:46

>兄が40歳になったとき、兄は(遠く離れた)弟に、電波で「僕は今、40歳だけど君は何歳か？」と送ります。

弟から返事が届くのは、兄が何歳のときで、どんな返事ですか。

弟がどの時点の年齢を送る事にしているのかよくわかりませんので、一番話がシンプルな弟が光を受信した時の弟の年齢を送ると言う意味で解釈します。
(兄が信号を送信した時の弟の年齢を送るという意図なら、弟はそれをどうやって知るのかを明確にして下さい)


全てを兄の静止系でかきます。(具体的な数字での計算が必要ならご自身で代入して下さい)
簡単のためc=1とし、兄と弟が別れた位置と時刻を(x,t)=(0,0)、v>0とします。

兄の描く世界線はx=0です…①
弟の描く世界線はx=vtです…②
兄の時計が時刻τを指した時(弟と別れてτの時間が経過した時)、兄は光を送ります。この光が描く世界線はx=(t-τ)です…③

②と③の交点は(x,t)=(x_4,t_4)=(vτ/(1-v),τ/(1-v))です。…④
これが兄視点で弟が光を受信する位置と時刻です。

この時の弟の時計が指す時刻は√(t_4^2-x_4^2)=τ√((1+v)/(1-v))になっています。…⑤
従って弟が受信した時の年齢を送るという事でよいのなら、弟はτ√((1+v)/(1-v))の値をメッセージに込めます。

弟は④から兄に光を送り返します。この光の世界線はx=-(t-t_4)+x_4です。…⑥

①と⑤の交点は(x,t)=(x_7,t_7)=(0,τ(1+v)/(1-v)))となります。…⑦

なので結局、兄は弟からτ√((1+v)/(1-v))というメッセージをτ(1+v)/(1-v))の時刻に受け取ります。


弟から信号を送った場合には
「弟は兄からτ√((1+v)/(1-v))というメッセージをτ(1+v)/(1-v))の時刻に受け取る」
と言う兄と弟を入れ替えた結論になります。当然ですが、兄の静止系で考えた時もこの結論です。直線の方程式を求めたり交点を求めたりするだけなので、具体的計算はご自分で。

No.19 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/14 09:26

補足の回数に制限なんてあったんですね。

知りませんでした。再質問が禁止されてる訳ではないので、必要ならすれば良いのでは。全ての質問に目を通している訳ではないので私が気付くかわかりませんが。。。

> 定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。

弟が定義に基づいた検証をしていて、その様子を兄が観察しているんです。弟が行う実験だって、兄のいる宇宙でされた実験です。当然兄の考えている物理法則で説明できる事が求められます。そうやって兄が得た結果を弟の視点に翻訳すると、時刻合わせされてないという結論になる、といってるのです。

弟の実験を兄が観察するのがダメだというのなら、列車内にいる弟が床と天井の間を光を往復させる実験(光時計)を地上にいる兄が観察する事もダメ、となるんだろうから、トーラス構造云々という前に特殊相対論について考え直した方が良いでしょう。


あまり細かくいっても伝わりそうにないので、先に具体的にイメージしやすいユークリッド平面で考えてみたらいいと思います。

図がないのでわかりくいかもですがとっかかりだけ。

最初の質問にあったゲームの世界を考えます。メルカトル図法とかで書いた世界地図で、左端に行けば右端に、上端に行けば下端にいく世界を考える事にします(ドラクエをご存知ならドラクエ3の世界とお考え下さい)

兄は緯度と経度を座標系を選んだとしましょう。緯線でも経線でもいいですが兄が座標軸に沿って歩くと元の場所に戻って来れますね。

局所的にはユークリッド平面と等価ですから、座標軸を回転させても良いはず。そこで弟は兄(緯線と経線)に対して30度くらい？傾けた座標を設定したとします。(片方の座標軸が東北東と西南西の方向を向いてるとしましょう)

例えばシンガポールのあたりからこの座標軸に沿って移動する事を考えてみます。
東北東に歩いて行けばニューヨーク辺りに、西南西に歩けばインドの辺りを通って南アフリカ辺りに着くような場所でしょうかね。(地図は見てないのでだいぶ適当です)

さて、「兄と弟は等価なので、兄と同様に弟も座標軸を沿って歩くと元の位置に戻る」この主張は正しいのでしょうか？

つまり、シンガポールから東北東に歩いていくと、
ニューヨーク→南アフリカ→インド→シンガポールという経路になるのでしょうか？
違いますよね。ニューヨークから大西洋を渡った先にあるのはヨーロッパです(欧米で使われている北南米大陸が左端にある地図を参照するとわかりやすいでしょう)

「兄と同じように弟も座標軸に沿って歩くと元の場所に戻れる」
この考えが何故正しくないのか、お考えになると良いと思います。

このゲームの世界において、座標軸に沿って歩いて元の場所に戻れる座標系(あるいは上下左右の端が座標軸に平行)という意味で兄の座標系は特別な存在です。

> 質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。

ですから、最初に書いた通り具体的にどうなるかはケースバイケースです。トーラス構造を使って「静止系」が定義できるので、これに対する速度次第を定義してないので設定に不備があります。

兄が静止系にいるとするなら、兄の描像が正しいです。弟の視点でも兄と同一の結論になります。
なお、一応、弟の視点でも
> t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です
に対応する式は成り立ってはいるのですよ。
単に再会して目の前にいる兄の年齢を計算するのには使えないだけです。(特殊相対論においても時刻合わせをしてない二つの時計を用意して、一方の時計が指す時刻と他方の時計が指す時刻の差を「経過時間」と考えた時には上の式を使えません。状況としてはこれと同じ話です)


>平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか

これも何をもって成立すると考えるか次第です。
トーラス(ゲームの世界)でユークリッド幾何学は成立しますか？結論はそれと一緒です。

ユークリッド空間に周期構造はありませんので、周期構造なんてものがある時点でユークリッド幾何学は成り立たない、と考える事はできます。

でも、トーラスは任意の点の近傍だけ見ればユークリッド幾何学が厳密に成り立つ、そういう空間です。そういう意味でユークリッド幾何学の知識を使う事はてきます。

前者の考えだとミンコフスキーに周期構造はない、で話が終わってしまうので、後者の見方を前提に書いていました(基本的には一般相対論の範疇の話と考えた方が見通しは良いとは思います)

No.18 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/13 00:15

実際には1人であっても、遠方に自分は見えるんです。

自分が持つ時計と遠方の自分が持つ時計が本当に同時刻なのかを考える必要があると言ってるんです。こういう状況はミンコフスキー時空では起こらないので、特殊相対論では検討されてない事柄です。

特殊相対論において、互いに静止している2つの時計A,Bが同時刻が同時刻であるとは、次のように定義されます。

①AからBに向けて光を放つ。この時Aが指す時刻をt_1とする
②光がBに届く。同時にAに向けて光を放つ(反射する)。この時Bが指す時刻をt_2とする
③Aに光が届く。この時Aが指す時刻をt_3とする。

t_2-t_1=t_3-t_2 が成り立つ時(行きと帰りの時間差が同じ時)にAとBの時刻が合っていると表現されます。(お手持ちの教科書に別の定義がなされていれば、その定義を前提にしてもらっても差し支えありません)

お書きの話を見る限り、「同一の時計なのだから合ってるに決まってる」とか「特殊相対論では自分と同時でないなんて事はなかった」みたいな話で思考停止してるだけで、定義に基づいた確認はしてないのではありませんか？


例えば兄の視点で弟が光速度の1/5の速度で動いていて、
弟の時計は12時の位置にいる時に時刻0を指し、1時に来た時に1時を指すように調整してあるとします。

弟の行っている時刻合わせの操作の様子を兄の視点で書くと次のような流れになります。

12時の位置にいる弟が光を発射した。弟は時刻0を指す時計を持っている【t_1=0】
弟が1時の位置にきた。弟は時刻1を指す時計を持っている。光は5時の位置にいる
弟が2時の位置にきた。弟は時刻2を指す時計を持っている。光は10時の位置にいる
弟が3時の位置にきた。弟は時刻3を指す時計を持っている。光は3時の位置にいる。弟は反時計回りに光を放った。【t_2=3】
弟が4時の位置にきた。弟は時刻4を指す時計を持っている。光は10時の位置にいる。
弟が5時の位置にきた。弟は時刻5を指す時計を持っている。光は5時の位置にいる。弟は反時計回りに光を放った。【t_3=5】　

さて、本当にt_2-t_1=t_3-t_2は成り立つのでしょうか？
弟の時計が一周回った先にある弟の時計と同時刻だというのなら、t_2-t_1=t_3-t_2が成り立つ事(またはお手持ちの教科書にある時計の時刻合わせの方法で時刻が合っているという判定になる事)を示して下さい。

No.17 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/12 19:59

うーんと、

ある人から見て同一位置・同一時刻に起こった事象は誰が見ても同一位置・同一時刻に起こる。
この点には同意できるのでしょうか？


弟の視点で
「時計回りに放った光が弟に届く」
「反時計回りに放った光が弟に届く」
が同時に起こったのであれば、これらは同一位置・同一時刻に起こったという事を意味します。ならば兄も同一位置・同一時刻に起こったと考えるはずです。

しかし、兄の視点では
「時計回りに放った光が弟に届く」
「反時計回りに放った光が弟に届く」
は同時ではなかった事(同一位置・同一時刻ではない事)は受け入れられるのですよね。
ならば弟の視点でも、【同一位置・同一時刻ではない事】を意味します。弟は自分がいる位置(同一位置)で起こったと考えるので、弟は同一時刻(同時)ではない考えます。


貴方の推論は大事な事を1つ見落としている部分があるのですが、具体的に説明する前に下記の点どのように考えてるかお答え下さい。

#7への補足の分身の概念を使います。兄と弟それぞれに時計を持たせ、すれ違った瞬間に双方の時計の時刻が0になるように時刻を合わせたとします。
兄の分身と弟の分身も時計を持っています。兄の分身の時計が時刻0を指した時、その傍らには弟の分身がいて時刻0を指す時計を持っています。

①「兄の持つ時計が時刻0を指す事象」と「兄の分身の持つ時計が時刻0を指す事象」は兄から見て同時に起こる事ですか？
②「【弟】の持つ時計が時刻0を指す事象」と「【弟】の分身の持つ時計が時刻0を指す事象」は兄から見て同時に起こる事ですか？

③「兄の持つ時計が時刻0を指す事象」と「兄の分身の持つ時計が時刻0を指す事象」は【弟】から見て同時に起こる事ですか？
④「【弟】の持つ時計が時刻0を指す事象」と「【弟】の分身の持つ時計が時刻0を指す事象」は【弟】から見て同時に起こる事ですか？

No.16 回答者： s_hyama 回答日時： 2023/01/12 13:34

時計のパラドックスなら、時空図を兄の線、弟の線を書いて、円筒状に丸めると、その2線は交わらないので、交わるためには慣性系の切り替えをどちらかがしないといけないので、旅行に出た方が切り替えると、その方の時間が遅れるねで、特殊相対論の論文の内容になるのでは？

ということで、アインシュタインのことはアインシュタインの論文に聞けということで、なぜ論文を読まないのか？という質問返しになりますが？

No.15 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/12 08:18

> 時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。

３次元トーラスが平らという文脈と同じ意味では円周も平らなので、円周を想定して書いています。
とはいえ、この部分はご質問の本質ではないので、気持ち悪いのなら、お書きのように便宜上と思ってもらって問題はありません。

> この一連の意味がわかりません

すいません、前と後が逆になっていました。
(それでも意味が分からないという事なら補足下さい)


>特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。

結論は変わらない/兄の場合と同じとは何と変わらない/同じという意味でお書きですか？

「兄の視点で弟が2つの光を受け取るのが同時ではない」のと同じ(弟の視点でも弟は光を同時には受け取らない)。
「兄の視点で兄が2つの光を受け取るのが同時である」のと同じ(弟の視点でも弟は光を同時に受け取る)

どちらとも解釈できなくはない上に、真逆の結論になってしまうので念の為の確認です。

私は前者だと言っていて、この2つの光が届く時間差から兄に対する速度がわかると言ってるのが#4です。

No.14 回答者： s_hyama 回答日時： 2023/01/11 21:30

それ双子のパラドックスじゃなく、時計のパラドックスの方じゃないですか？

なお、アインシュタインは26歳のときに出した、特殊相対性理論の論文「動いている物体の電気力学」において、「同じ時刻を刻む2つの時計がA点に置かれているとき、そのうちのひとつを、A点を通る任意の閉曲線にそって一定の速さv で動かし、t 秒後に再びA点に戻ったとき、この時計は動かさなかった時計よりt (v/c)^2/2秒だけ遅れている。」と書いている。

No.13 回答者： s_hyama 回答日時： 2023/01/11 04:39

ああ、宇宙全体でなくても、銀河の合体過程でもいいですね。

ファーストの衝突で双子の星が生まれ、離れたりくっ付いたりして
対称な運動しながら、今何歳？という場合も、対称な運動であるかどうかで、歳が決まりますね。

No.12 回答者： s_hyama 回答日時： 2023/01/11 04:33

物理学において、運動（うんどう、英: motion）とは、物体と参照系の位置関係が変化することである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95 …

宇宙が勝手に膨張したり収縮するのも、運動の定義では立派な運動です。

そういう意味で背景がトーラスでとか言わないでも、背景が変化しても相対関係で再会は起こりえます。その時対称な運動してきたかどうかで、歳は決めりますね。

No.11 回答者： s_hyama 回答日時： 2023/01/10 21:09

あと、宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、

同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。