変な世界での双子のパラドックス

現実の宇宙ではなく仮想の宇宙です。その宇宙は相対性理論は成立するとします。

その宇宙は膨張も収縮もせず、また、完全に平坦です。そして、構造は三次元トーラスになっています。ちなみに、二次元トーラスはドーナツの表面のような閉じた世界で、真っ直ぐいくともとのところに戻ってくるような世界です。ただ二次元トーラスは曲がっていますよね。しかし、三次元トーラスというのは、閉じているにもかかわらず空間が平坦なままなのだそうです。ゲームの世界で端っこと、反対の端っこがつながっているような感じです。

前置きが長くなりましたが、
そんな世界での双子のパラドックスをするとどうなるのかと思って質問したくなりました。

・・・・・
その宇宙で、双子の兄弟がそれぞれ宇宙船で亜光速で逆方向に等速直線運動をしています。

あるとき、兄弟はすれ違います。兄弟はどちらも20歳です。

ここからは、兄の立場にします。兄が40歳のとき、再び弟とすれ違いました。なぜ、スレ違うかというと、宇宙が閉じているからです(しかも平坦なまま閉じています)。

このとき、弟の年齢は40歳よりも若いでしょうか。それとも、兄と同じ年齢でしょうか。

それを確かめるために、すれ違うとき、兄は弟に無線で「僕はいま、40歳だけど、君は何歳か」と訪ねます。弟からはどんな返事がくるでしょうか。

普通の双子のパラドックスは弟が地球で待っていて兄は旅にでますが、兄は出発時と折り返し時と帰還時に加速度運動をするため2人の運動は対称ではありません。しかし、これの場合、対称です。

平坦な宇宙で等速直線運動をするというだけで、兄と弟は再開できてしまいます。

特殊相対性理論では、相手の時間が遅く進むのは、お互い様です。

兄からみると自分が40歳で、弟は40歳よりも若いし、弟からみると自分は40歳で兄は40歳よりも若いのではないでしょうか。

それが、再会できなければ、何の問題もないですが、この世界では(すれ違うとき)再会できてしまいます。

兄が「君は何歳だ？」と聞いたら、弟の返事はどんなものになるのでしょうか。

一方、二人は対称な運動をしているのだから、年齢がズレるのは変な気もします。


どうなるのか、教えてください。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  
  まず、兄弟が再会するためには閉じた宇宙がほしかったです。
  で、もしも、空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら、閉じているけど、よろしくありません。空間が曲がっている関係で、お互いに相手の年齢はズレていっても、宇宙を1/4周したあたりから、相手の年齢は自分に近付いてきて、スレ違うときには一致するような気がします。(たぶん、そうですよね)
  
  平坦ということにこだわったのは、一般相対性理論を考えなくていいように、完全に等速直線運動をさせたかったからです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 02:03

• ご回答ありがとうございます。
  
  逆方向に飛んでいると書きましたが、平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。運動は相対的だから、兄は自分が静止していて弟だけが(例えば)0.9999cで飛んでいると見るし、弟は自分が静止して兄が0.9999cで飛んでいると見るのではないですか。で、0.9999cで飛んでいる物体の時間はゆっくり進むのではないですか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 03:43

• ＞大域的(global)には区別ができるという話をしてます。
  
  つまり、その宇宙の絶対静止系みたいなものがあって、それに対する運動を考えるということですか。また、特殊相対性理論もうまく成立しないということですか。
  
  宇宙に方眼用紙みたいなものはないのに、どうやって、絶対静止系というのを定義するのですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 10:29

• #4について。
  ＞前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
  
  この理屈がわかりません。
  視点は兄なら兄においていいのですか。ここで、見立てとして、宇宙が空間的に同じものが繰り返していて、兄が分身の術のように複数いると見立てると、兄にとって、前にいる兄も後ろにいる兄も静止していると思います。そして、距離も前後で同じですよね。全てが静止し、同じ距離を一定の速度の光が進む時間は同じではないのですか。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 19:05

• ＞宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、
  同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。
  
  それはそうだと思います。膨張と収縮は、2人の間の空間の目盛りが増えたり減ったりするだけで、いわば、兄弟はほとんど同じ位置で互いに静止していたのと変わらないのではないでしょうか。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 23:00

• ＞反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。・・・
  
  この一連の意味がわかりません。時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。
  それはそれとして、
  兄からみて弟の速度をv(亜光速)とするとc＞vです。だから、どちら周りでも光が一周する時間よりも弟が一周する時間の方が少し長くかかるのではないですか。
  
  ＞兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
  
  弟には同時には届きません。弟を追いかける方向の光(時計まわり)は長くかかるし、弟の進行方向と逆の光(反時計まわり)は早く届きます。
  
  ＞弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？
  
  特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。
  
  それで、もし不都合が起きたらどう説明するかは私はわかりません

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:01

• 特殊相対性理論が成立する宇宙という設定です。ただし、構造が変なので、成立させられるかどうかは別です。そこが質問です。
  
  普通の特殊相対性理論の世界、すなわち、平坦で無限に広い宇宙なら、兄と弟がすれ違ったあとは、離れるだけの状態で、これの場合、二人の運動が対称であっても兄の視点で自分が40歳のとき、弟は21歳だったりしますよね。弟の視点でもそうですよね。これで問題ないのが特殊相対性理論です。あくまで、観測者視点だからです。再会することもないですし。
  
  この質問の場合、再びすれ違うことが発生してしまって、2人は同じ場所にいて、時間ロスなしに相手の年齢を聞くことができてしまいますが、特殊相対性理論によると、弟からは「21歳だ」という返事が来そうです。しかし、それはそれで、変な感じです。だから、よくわからなくて質問しています。

  No.13の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:16

• よく分からないので式で書きます。兄と弟は互いに相対速度vで逆向きに運動しているとします。兄からみても弟からみても宇宙1周の距離はＬとします(兄や弟の速度と宇宙一周の距離の関係はどんなときも同じか変化するかは私はわかりません。考える基準として宇宙を絶対静止みたいに想定できるのかもわかりません)
  
  ①兄の視点
  ・前方でも後方でも発射した光が兄に戻ってくる時間→Ｌ/c
  ・前方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c-v)
  (発射と同時に届く光ではなくて、その次に届く光)
  ・後方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c+v)
  
  ②弟の視点
  ①の文章で兄と弟を入れかえたものになります。
  
  何か問題はありますか。
  
  あと、相手方の時間遅れは兄からみて弟でも弟からみて兄でも
  t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です。当質問の計算でこれを使うと不都合が起きたとしても、その解決法は私はわかりません。

  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 16:54

• 分身と書いたのは、宇宙の距離を把握するための便宜上のことです。実際には、兄はここに１人しかいません。１人しかいないので、兄の時間t=0は1通りしかありません。弟も同じです。

  No.17の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 21:02

• 冒頭に「互いに静止している2つの時計」を比べると書いてあるので流れでいくと、ここにいる兄と見えている兄の時計を比べる話かと思いきや、弟と比較しています。兄からみて弟の時計は運動しています。定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。
  
  もう、これで補足を使い果たしました。終わりそうにないのが残念です。
  
  質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。すると特殊相対論では兄の視点で兄が40歳のときは弟は25歳ですよね。また、弟の視点で弟が40歳のときは兄は25歳ですよね。そのとき再びすれ違うようにします。至近距離ですれ違うという出来事は兄弟で共通しています。兄の視点で兄が40歳の時に弟に年齢を尋ねたら弟からは何歳という返事がきますか。
  
  これ、わかりません。結論としては、平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか

  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 12:16

No.21 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/16 20:01

大前提として、私は貴方については何も知らないのだという事は理解して下さい。

貴方はその解釈をするのが当然と言いますが、貴方が当然と思ってる事を私は知りません。相対論の文脈なら当然この意味だよね、と言う話であっても、当然という前提で話を進めていいのかも分かりません。


もしも、貴方の意図を私が誤解してしまっていたら、貴方がその間違いに気付かない限り、私の意図が誤って伝わる事になります。そうなった場合、その事に気付くのにおそらく何度かやり取りをする事になります。それを避けるために「こういう意図で解釈した」と明示しているんです。

嫌味に感じたのなら申し訳ないですが、正しく意図を解釈できていたのなら単に読み飛ばす部分です。お互いに誤解したままやり取りする可能性を残すよりはいいと思って書いた部分だと受け取って下さい。


正直、貴方がどこまで知っていると言う前提にして良いのか掴みかねています。

弟から光を発射した時の話は
>「弟は兄からτ√((1+v)/(1-v))というメッセージをτ(1+v)/(1-v))の時刻に受け取る」
と結論を書いています。単に兄と弟の入れ替えてこの結論にしたのではなく、(検算を兼ねて)手元では兄視点でで弟から光を発射した時の話を計算して出した結論です。

具体的な計算の流れを書かなかった理由はいくつかありますが、一番大きい理由は貴方の考えが読めないからです。
まずは貴方が計算するとどうなるのか、あるいは、どこで計算が行き詰まるのか、のような事を書いて下さい。


>それと私は相対速度は0.9cと明記しています。vではありません。
具体的数字である事が必要なら、計算結果がキリの良い数字になるように相対速度を選んで下さい。平方根が残るのでvにしました。
あとはv=0.9を代入するだけです。

具体的な値が必要なのは私ではなく貴方である事、四則演算と平方根の計算は貴方にもできるであろう事から具体的な値が必要ならご自分で計算してくれと言っています。私に計算をやって欲しいのなら、貴方が計算しない/できない理由を明記して下さい。



> c=1でもありません。
cを残したいのなら、v→v/c、t→ct、τ→cτなどと置き換えて下さい。式が煩雑になるだけで結論は変わりませんが、式を煩雑にしたい理由はあるのでしょうか？もしくはc=1とするの議論を見た事がない？

No.22 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/17 19:46

トーラスの話は向こうではしてないみたいなので、とりあえずこっちで。

(窓口を統一したいという話ならそう書いて下さい)

どうなるかは#4,#5で書いた通りです。
正直、同じ聞き方では同じ答えしか返せません。


トーラス構造の入れ方は色々あるとは思うけど、
比較的説明が楽そうなのは、貴方は気に入ってないみたいではあるけど貴方が前に書いた分身の概念を使う方法です。
※#18の後に似たような事を書いたと思ったのですがぱっと見見当たらなかったので、もう一度書いてます。重複してたら読み飛ばして下さい。

大まかに言うと、本体と分身は別人だと思って一通り計算して、計算が終わったら「本体と分身の区別をなくす」こんなやり方です。

例えば7で割った余りの空間を考えます。(整数の空間に周期7の周期性を入れているようなものです)
この空間には0,1,2,3,4,5,6の6つの元があります。この空間で4×5はいくらなのか？を考えた時
4×5=20と元の整数の空間で掛け算を計算し、20を7で割った余りは6だ。
こんな風に考えると思います。
こういう計算を見て「今考えている空間には20なんて元は存在しない」、などと怒ったりはしないだろうと思います。

分身を持ち出すというのは20のような量を持ち出すのと基本的には変わりありません。で、とにかく、分身を持ち出す事にしますと、弟視点で考える兄の年齢とは、兄の持つ時計の時刻と兄の分身が持つ時計の時刻の差をとる事に他なりません。

時間の遅れの話を特殊相対論でしていた時には、必ず(ピンと来ないのなら教科書などを確認して下さい)
・同一の時計が別のタイミングで指していた時刻同士の差
・別の場所にはあるけど時刻合わせされた時計が指す時刻(=時刻座標と思って良いです)同士の差
を比較していたはずです。

弟視点では弟自身の時計は同一の時計です(途中で手元の時計が分身の時計にはなりません)
しかし、兄の時計と兄の分身の持つ時計は同一ではないし、時刻合わせもされてません。なので、「時間の遅れの式は使えない」という結論になります。

さて、計算が終わったら分身の概念を消すのでした。しかし「」内にはそもそも分身という言葉はありませんので、分身の事を忘れても結論は何も変わりませんよね。

色々説明を端折ったり、誤魔化したりはしてるので、雰囲気を書いてるだけと思って下さいね。
兄視点だって、弟の年齢は弟と弟の分身の時刻の差じゃんとかね。

No.23 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/18 23:58

>ここまでは理解しました。

理解したとお考えなら、#17の最後に書いた①〜④にお答え下さい。
①からわからない場合には、①は同時、と言う前提(①が同時となるような系に兄がいると言う前提で全ての話を書いています)で②〜④にお答え下さい。

繰り返しになりますが、兄と兄の分身、弟と弟の分身は別人だと思って下さいね。

最後に区別をなくす、と書きましたが、ひとまず貴方は区別を無くさずに【全て】の事をお考え下さい。周期性の事は忘れて全ての事をお考え下さい。

もう、分身とはそっくりさん(別人)という事にしましょう。未来を含めてあらかじめいつどんな事をするのか予め決めていて、兄も兄のそっくりさんも、弟も弟のそっくりさんもそれぞれそ同一のスケジュール通りに行動している。
こんな状況とお考え下さい。


>兄の視点で「兄」と「見えているひとつ向こうの兄」では、(後略)

はい、兄視点でも弟視点で兄と兄の分身の時計が進むテンポは一緒です。それがどうしたのかよくわかりませんが。


> ＞兄の時計と兄の分身の持つ時計は同一ではないし、時刻合わせもされてません。
>弟視点ですか？
弟視点です

>兄視点だと「兄」も「兄の分身」も、ここにいる兄自身です。
兄視点の兄の分身は、一周向こうにいる自分の事です。が今の貴方は遠方にいる兄のそっくりさんとお考えください。

>このことと「兄」と「兄から見えているひとつ向こうの兄」とは違います。
何を仰っているのかわかりません。

>弟視点では、どちらのことですか。
弟が最初に別れた方の人物を「兄」
弟がその後再会した方の人物を「兄の分身」「兄のそっくりさん」と呼んでいます。

兄の視点でも弟の視点でも、兄と弟が最初に別れます。その後兄は弟の分身(そっくりさん)と出会い、弟は兄の分身(そっくりさん)と出会います。

>すみません。「」というのは、具体的にどれのことですか。
>なので、「時間の遅れの式は使えない」かという結論になります。

No.24 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/20 20:17

> 兄弟が全く同じ運動をしている特別なパターンがあることは否定しないとおっしゃっていました。

どの話でしょうか？特別なパターンが何なのかわからないし、すいませんが何の話か全く思い当たりません。
私が否定しないという言い方をしたのなら、肯定の意味とも限りません(間違ってるか検討してないだけの事もあります)。

> 私は兄弟はどちらから見ても宇宙一周の距離はＬとすると書いたことがあります。
そうなるかは距離の定義次第です。
例えば光が一周して自分の場所に戻るまでにかかる時間で定義すれば、#18の例で書いたようにそもそも一周までの距離は時計回りか反時計回りかでも変わる事になります。


> しかし、兄弟が局所的と言える距離の段階では互いに相手の時間は遅れていきます。すると、どこかから時刻のズレが回復をはじめなければいけません。この考えは正しいですか。で、たぶん、Ｌ/4までは時刻が遅れるようにズレていき、そこから回復しはじめるのではないかと思います。

例えば、姉が例えば6時の位置に静止しているとしたら、弟が通り過ぎる時、姉の目には相対論で考えた通りには動いてない弟の時計が映るという事を言ってるのですか？

別にトーラス構造を入れる方法は一つではないとは思いますが、あらゆる場所あらゆる時刻に(局所的に)特殊相対論が厳密に成り立つ、そんな宇宙を考えれはこういう風になるという話をしています。

特殊相対性原理または/および光速度不変の原理を犠牲にしてトーラス構造を入れるような事を考えてやれば貴方の考えている通りになる事はあるかもしれませんね。貴方がどうやってトーラスを入れると考えているのか次第です。

No.25 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/21 09:18

各時刻に自分の時刻と相手の時刻を対応付ける事が必要です。

具体的にどうやりますか？
貴方は最初と最後に目の前の時計を見る所しか考えてなくて、その途中は適当に繋げはいい、としか考えてないのでは？

例えば出発点に向けた望遠鏡で相手の時計を見るという設定なら、合流後もその前提を変えてはいけません。合流後も目の前の相手の時計ではなく、望遠鏡から見える相手の時計を観察して下さい

もちろん、望遠鏡から目を離して目の前の相手の時計を見るという設定にしたいのなら自由にすれば良いです。しかし、相手の時計の時刻の測定方法を不連続に変えるのなら、測定値も不連続に変わります。

別に全く別の方法でもいいですが、その場合には具体的方法をお書き下さい。

No.26 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/21 10:08

書き忘れ。

球面は単連結なので、上手く測定方法を決めれば貴方が想像している通りになるかもしれません。(可能だと確認した訳ではありません)

しかしトーラスは単連結ではないので、別れる時に目の前の相手の時計を見て、再会時に目の前の時計を見ているのなら、どこかの時点で測定方法を不連続に変えた事を意味します。

No.27 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/21 18:08

兄と弟は違う経路を通って再会した時に同じ年齢というのは条件次第では起こり得ます。

>最初のうちは、お互いに相手を後方で観測し、再会の前ぐらいから前方で観測することにはなりますね。再会で会話するときは、否応なしに後方の相手ではなく前方からきた相手とになりますね。合ってますか。

はい、そうです。

特殊相対論に離れた場所にいる人が同一人物という概念はないので、
(局所的に)特殊相対論が成り立つと考えるのなら別人と考えて計算するしかありません。
相手と相対速度があるので、自分と相手で離れた地点間の同時刻は共通ではありません。相手が前方と後方という離れた場所にいるので、自分の考える同時刻に相手は異なる時刻を指す時計を持つと解釈する事になります。
すると、どちらの時計を参照するかを変えるだけで、相手の時刻が瞬時に変化してしまうのです。

>ならば、どこかで相手の時刻は回復しないといけませんよね。
参照する時計を変更したその瞬間と思えば良いでしょう。

No.28 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/22 14:11

合ってるか間違ってるかで言えば間違ってます。

同じ話の繰り返しにしかならないのでどこが間違ってるのかはもうイチイチ書きませんが、話を複雑にする前に#17の最後に聞いた事をお考えになるのが良いかと。

もしくは#19に書いたようなユークリッド平面について考えてみるのも良いでしょう。

No.29 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/22 17:40

自分と自分の分身が同時刻ではない(同時刻とは限らない)と言う話です。

同時刻でないせいで何が起こるのかという話をしたり、同時刻ではない事をどう確認できるかという話をしたり、納得できないようなのでアプローチを変えてはいますが、ずっとこの話をしています。過去の回答のうちどれですかと聞かれたら全部ですという答えになるんじゃないかな。(過去の回答を振り返ってはいないので印象ですが)


例えば東京０時発の飛行機に12時間乗って(飛行機に搭乗してる人が持ってる腕時計が１２時間進んだ)ロンドンに着いたとしたら、着くのは3時になります。

「地上の時計では3時間で到着した」
事になるのですが、東京ロンドン飛行機と全ての時計が同じテンポで時を刻んでいるのに、何故飛行機上の時計(12時間)と食い違うのか説明できますか？

東京とロンドンの時計の時刻は合ってない(時差がある)という話をいろんな角度からしているのですが、「同じ地上の時計だから」という理由で東京が０時の時にはロンドンの時計も０時だと考えから抜け出せないようです。

さて、この話、貴方ならどのような説明をしたらわかりやすいと思いますか？



>(兄が兄の分身を望遠鏡で見るのではない扱いで言うと)
そうですね。舌足らずでしたが、その前提で考えて貰って良いです。


>だから、弟の分身が時刻0になるときと弟が時刻0のときは兄にとって同時ではありません。

では弟の分身の持つ時計が時刻0を指した時、弟の分身の傍らに兄の分身はいますか？

いるのなら、その兄の分身の持つ時計はいくらを指していますか？(0か正か負かの3択で十分)
いないのなら、弟の分身と兄の分身が出会った時に、弟の分身と兄の分身の持つ時計の時刻はいくらですか？(これも0か正か負かの3択で良い)

全て兄視点でお答え下さい。

No.30 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/22 19:18

>同じ慣性系にいるので同時だと思います。

兄と兄の分身は全ての時刻が一致します。

結論は正しいので読み飛ばしてましたが、理由はおかしいですね。

(例えば地球の自転を無視すれば)東京とロンドンは同じ慣性系なので、東京とロンドンの時計は全て一致している
こんな話をしているようなものです