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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ほぼ自明ですが。
任意のnについて
Sn=∪[k=1,n]Xk , Sn'=∪[k=1,n]Xk'
とするとき
Sn=Sn'・・・・・①
を言えばよい。
n=2のとき
S₂'=X₁'∪X₂'=X₁∪(X₂-X₁)=X₁∪(X₂∩X₁^c)
=(X₁∪X₂)∩(X₁∪X₁^c)=(X₁∪X₂)∩(X)=X₁∪X₂=S₂
となり、成立。
S[n-1]=S[n-1]' を仮定・・・・②
Sn'=S[n-1]'∪Xn'
=S[n-1]'∪(Xn-S[n-1])・・・・・仮定②から
=S[n-1]∪(Xn-S[n-1])
=S[n-1]∪(Xn∩S[n-1]^c)
=(S[n-1]∪Xn)∩(S[n-1]∪S[n-1]^c)
=(S[n-1]∪Xn)∩(X)
=S[n-1]∪Xn=S[n]
帰納法から①が成立。
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