内積の分配法則を成分を使わずに証明する方法を教えて下さい。

内積の分配法則を成分を使わずに証明する方法を教えて下さい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/25 23:46

「内積」の定義は、こんな感じ。

↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D …
分配法則は、定義の中に含まれている。(λ=1 の場合)

その上で内積の成分表示は、
正規直交基底 { →e_i | i=1,2,...,n }, →e_i・→e_i = 1, i≠j のとき →e_i・→e_j = 0 と
分配法則によって
( (x_1)(→e_1) + (x_2)(→e_2) + ... + (x_n)(→e_n) ) ・ ( (y_1)(→e_1) + (y_2)(→e_2) + ... + (y_n)(→e_n) )
= (x_1)(y_1) + (x_2)(y_2) + ... + (x_n)(y_n).
と、計算によって導かれる。

ベクトル →a と →b のなす角 θ は、通常
→a・→b =|→a| |→b| cosθ を満たす θ として定義する。
この式の | | は、|→a| = √(→a・→a) という意味である。
定義しなければ、ベクトルの「なす角」という言葉が意味を持たないからだ。
この定義により、|→a| |→b| cosθ が →a と →b の内積であることは自明だ。
だって、そうなるように「なす角」という言葉を定義したのだから。

No.3 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/07/25 23:12

お礼コメントについてですが「〇〇を内積と呼ぶ」と定義したわけですから、証明もヘッタクレもありません。

定義は証明するものではないので。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/25 23:06

|a→| とか cosθ とかを定義してくれないと, なんともならないなぁ. あ, 「なす角」というのは却下で.

この回答へのお礼

高校数学の範囲でお願いします。

お礼日時：2020/07/25 23:30

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/25 21:56

内積が分配法則を満たすことは定義であって、証明しようがない。

というのは、内積の定義（すなわち「演算●は内積である」と言えるための条件）の一部として、「分配法則 x●(y+z)=x●y + x●z を満たすこと」という要請が入ってます。だから、分配法則を満たさない演算はソモソモ内積ではない。
逆に言いますと、「ある演算●が分配法則を満たすことを成分を使って証明」する場合、その証明は「演算●は内積である」
ということの証明の一部分です。

この回答へのお礼

では定義a→・b→=|a→||b→|cosθが内積である事の証明を成分を用いずにする方法を教えて下さい。

お礼日時：2020/07/25 22:15