分散はなぜn個の値の二乗の平均引く平均の二乗で出るのですか？教えてください！

分散はなぜn個の値の二乗の平均引く平均の二乗で出るのですか？教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/02/25 00:01

分散を数式で表すと以下のようになります。

Var(X) = E[(X - μ)^2]

ここで、Xは確率変数、μはXの平均、E[ ]は期待値を表します。

この式において、X - μの二乗の平均を計算することを考えます。すなわち、

E[(X - μ)^2] = (1/n) * Σ(X - μ)^2

ここで、Σはn個の値に対する総和を表します。

式を展開すると、

E[(X - μ)^2] = (1/n) * Σ(X^2 - 2μX + μ^2)

ここで、Xの平均μを用いて、式を簡単化します。

E[X] = μ

より、

μ = (1/n) * ΣX

従って、

ΣX = n * μ

これを式に代入すると、

E[(X - μ)^2] = (1/n) * Σ(X^2 - 2μX + μ^2)
= (1/n) * ΣX^2 - (2μ/n) * ΣX + (μ^2/n) * Σ1
= (1/n) * ΣX^2 - (2μ/n) * n * μ + (μ^2/n) * n
= (1/n) * ΣX^2 - μ^2

最後の式変形において、Σ1 = nであること、μ = (1/n) * ΣXであることを用いました。

したがって、分散Var(X)は、

Var(X) = E[(X - μ)^2] = (1/n) * Σ(X^2 - 2μX + μ^2) = (1/n) * ΣX^2 - μ^2

となります。

この式において、(1/n) * ΣX^2はn個の値の二乗の平均に相当し、μ^2は平均の二乗に相当します。つまり、分散はn個の値の二乗の平均から平均の二乗を引いたものとして求めることができます。

No.3 回答者： kacchann 回答日時： 2023/02/25 01:58

たまたますっきりした形になっただけ・・・では？

よく知らんけど。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/25 00:01

え”〜。

普通にΣの計算する。

まず、定義の確認。
平均は、E[X] = (1/n)Σ[k=1...n] X_k,
分散は V[X] = (1/n)Σ[k=1...n] (X_k - E[X])^2.

あとは計算。
V[X] = (1/n)Σ[k=1...n] (X_k - E[X])^2
　　= (1/n)Σ[k=1...n]{ (X_k)^2 - 2E[X]X_k + (E[X])^2 }
　　= (1/n)Σ[k=1...n] (X_k)^2 - 2E[X] (1/n)Σ[k=1...n] X_k + (E[X])^2 (1/n)Σ[k=1...n] 1
　　= E[X^2] - 2E[X] E[X] + (E[X])^2
　　= E[X^2] - (E[X])^2.