以前に 「画像のローラン展開は f(z)=1/(z^2-1) の z=-1の周り0<|z+1|<2で

以前に
「画像のローラン展開は

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1の周り0<|z+1|<2での展開
iii)0<|z+1|=r<2
なので

過去に何度も書いた
z=1の周りでの展開
i)0<|z-1|=r<2
ii)2<r=|z-1|
のどちらでもありません」
と言われたのですが、

どこから0<|z+1|=r<2の範囲と作れたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2
  で
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  
  について。
  
  n≦-2の場合、
  |z-1l<r<2のzにz=1を代入しても0<r<2は成り立つし、
  |z-1l<r<2のzにz→1を代入しても0.001<r<2は成り立つため、特異点であると導けました。
  ですが、以前教えて頂いた時はz=1の時は特異点ではないと言われました。
  z=1の時は特異点ではないので正側と言えるのでしょうか？
  
  私は何を間違ったのでしょうか？

    補足日時：2023/03/01 16:19

• z=π/2+0.001として、
  
  tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  としたのですが、
  
  どうやって
  
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  から
  =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
  と導いたのでしょうか？
  
  どうさ過程の式を教えて頂けないです。

    補足日時：2023/03/02 14:00

• z=π/2+0.001として、
  
  tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  としたのですが、
  
  どうやって
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  から
  =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
  と導いたのでしょうか？
  
  また、
  a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。
  
  どうか過程の式を教えて頂けないです。
  
  また、
  「tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、
  「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。
  どういう意味か教えて頂けないでしょうか？
  
  解答はmtrajcp様から頂いたものです。

    補足日時：2023/03/02 14:12

• ありものがたりさんに質問がございます。
  「F(z) が z=a を特異点に持つということは
  lim[z→a]F(z) が発散することじゃなく
  F(z) が z=a で微分不能だということだと言ってるんですよ？
  例えば、F(z) = z sin(1/z) の場合、
  lim[z→0]F(0) = 0 は収束しますが、F’(0) は存在しません。
  で、z=0 はこの F(z) の特異点だという話をしているんです。」
  より以前、mtrajcp様に極の定義を画像のように教えて頂いたのですが、
  
  F(z) = z sin(1/z)の場合より、
  z→0の時、F(z) = z sin(1/z)は収束するまではわかりますが、収束するにも関わらず微分が出来ないならば、極の定義に反していると思うのですが、

  
    補足日時：2023/03/03 07:43

• 私は何かしら勘違いをしていて、正しくは
  収束とは、a(n)はコーシーの積分定理により0になります。
  コーシーの積分定理によりa(n)は積分出来るため、微分も出来ると考えたのですが、これは単純にa(n)が0になるため微分が出来ない、
  微分が出来ないからz=0 はこの F(z) の特異点だと伝えたいのでしょうか？
  
  また、発散とはa(n)の式が作れるため、微分が可能であり、特異点ではないという事でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/03/03 07:49

• ①に関して
  >>
  z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点1,-1を含みません
  
  画像のようにz=1あるいはz=-1が中心とするにしても、黄色や緑色の範囲では特異点z=1,-1を含まないと言うイメージでしょうか。
  
  ちなみに、
  z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点1,-1を含まないのはf(z)=1/(z^2-1)の分母が0になり式として成り立たないため、黄色、緑色の範囲ではz=1,-1を含まないわけでしょうか？
  
  出来れば、画像のような図を使って説明してくださると助かります。

  
    補足日時：2023/03/04 02:59

• 度々申し訳ありません。
  
  質問があります。
  
  ⑥
  「z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点z=1,-1を含まれない」
  について、
  「z=1を中心とするローラン展開の範囲」の「z=1」と
  「特異点z=1,-1を含まれない」の「z=1」は同じzでしょうか？
  すなわち、z=1はローラン展開の範囲の中心点であり、特異点でもあるわけでしょうか？
  
  ⑦
  画像の図は0<|z-1|<2は赤点のz=1を含まれないとのことですが、この図は
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2
  のn≧-1とn≦-2のどちらの場合を表した図でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/03/04 09:29

• mtrajcp様、お手数をお掛けしますが、
  どうか、1枚目と2枚目の画像を結合した質問に答えて頂けるとありがたいです。
  毎回毎回申し訳ありません。

  
    補足日時：2023/03/05 07:46

• ありがとうございます。
  画像の補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。

  
    補足日時：2023/03/06 18:36

• 図に関しては図は
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  z-1=r
  の内側|z-1|<r<2
  で
  g(z)=1/1(z+1)(z-1)^(n+2)
  
  のn≧-1の場合、z=1が極であり、特異点でもあるため、図の赤い中心点はz=1であり、式g(z)の分母が0になるため、除かれるとわかりました。(※g(z)の式はn≧-1の場合、点z=1が極であり、特異点であるため、式g(z)の分母は0になるため、微分できないため、コーシーの積分定理により0にならないため、a(n)=の式が導けてるため、式g(z)において、n≧-1でz=1の時、ローラン展開することが出来ます。)

  
    補足日時：2023/03/06 22:25

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/06 19:43

rを使いたいのであれば

0<|z-1|<2」の不等式は|z-1|<r<2ではなく

0<|z-1|=r<2

です

但し|z-1|=r は積分経路を意味するのであって

展開域の場合はrを使いません

0<|z-1|<2
は
f(z)=1/(z^2-1)の展開域です

n≦-2のときの
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
展開域は
|z-1|<2
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なぜf(z)=1/(z^2-1)の範囲は0<|z-1|=r<2、すなわち、0<|z-1|<2なのでしょうか？

なぜn≦-2の時のg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の
範囲は|z-1|<2なのでしょうか？
ちなみに、0<|z-1|<2としても良いでしょうか？

また、n≧-1の時のg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の範囲の作り方を教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/03/06 22:13

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/06 19:34

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+… (1)

が
間違いなのは
以下の式が正しいから

tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・

a(-1)=-1
a(0)=0
a(1)=1/3

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・(2)

(1)と(2)を比べると

(1)は(1/3)(z-π/2)　が無いから間違い
(2)は(1/3)(z-π/2)　があるから正しい

f(z)=tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<2　でのローラン展開は
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・

とローラン展開されるのです

(1)も(2)も同じ展開なのだけれども

(1)の場合は間違って係数a(1)=0にしたから間違い
(2)の場合の係数a(1)=1/3が正しい

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・
は
係数a(-1),a(0),a(1),a(2)を求めるまえの式なのだから
正しいとか誤りだとかどちらともいえません

正しい式は
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・
ではなく

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・
の
係数a(1)を間違えたのが

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…(1)

で

係数a(1)が正しいのが

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・(2)

なのです

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/05 13:08

何が何の特異点か明らかにし

特異点の定義を確認せよ

f(z)=1/(z^2-1)
は
lim_{z→1}f(z)=∞となるからz=1はf(z)の特異点
lim_{z→-1}f(z)=∞となるからz=-1はf(z)の特異点

n≦-3のとき
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
lim_{z→1}g(z)=0だからz=1はg(z)の特異点ではない
lim_{z→-1}g(z)=∞となるからz=-1はg(z)の特異点

n=-2のとき
g(z)=1/(z+1)
lim_{z→1}g(z)=1/2だからz=1はg(z)の特異点ではない
lim_{z→-1}g(z)=∞となるからz=-1はg(z)の特異点

n≧-1のとき
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
lim_{z→1}g(z)=∞となるからz=1はg(z)の特異点
lim_{z→-1}g(z)=∞となるからz=-1はg(z)の特異点

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/05 12:53

上図の

赤点(z=1)を除く緑と青と黄色を合わせた部分が
0<|z-1|<2
というのは
f(z)=1/(z^2-1)
の
展開域であって
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
展開域ではありません

n≦-2の時は
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
z=1で正則ですが
z=-1で正則ではありません
だけれども
f(z)=1/(z^2-1)
の
展開域
0<|z-1|<2
には
z=-1は含まれないのです

n≦-2の時は
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
展開域は
|z-1|<2
となりf(z)の展開域0<|z-1|<2とは違うのです


g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
f(z)=Σ_{-∞～∞}a(n)(z-1)^n
の
a(n)を計算するためのものであって

g(z)とf(z)は違うのです!

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、
「上図の
赤点(z=1)を除く緑と青と黄色を合わせた部分が
0<|z-1|<2
というのは
f(z)=1/(z^2-1)
の
展開域であって
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
展開域ではありません」
の「0<|z-1|<2」の不等式は|z-1|<r<2ではないのでしょうか？

お礼日時：2023/03/06 18:44

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/05 05:42

上図の

赤点(z=1)を除く緑と青と黄色を合わせた部分が
0<|z-1|<2

下図の
赤点(z=-1)を除く緑と青と黄色を合わせた部分が
0<|z+1|<2

この回答へのお礼

わざわざ図を作ってくださりありがとうございます。感謝いたします。

図は
i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
のn≦-2の時はz=1もz=-1は正側だから除かれるわけでしょうか？

それとも特異点だから(分母が0)になり、式f(z)=1/(z^2-1)が成り立たないけど、特異点故にローラン展開できるから除かれるわけでしょうか？



また、出来れば

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
で
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
や
ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
の場合の
n≧-1、n≦-2の場合でのz=1,-1の特異点を教えて頂きましたが、
出来るならば、
i)やii)のz=1,-1の特異点を
頂いたの円の画像のように視感的に幾何学的にi)やii)のn≧-1、n≦-2 でのz=1,-1の特異点がどんな風に存在しているかを図を作ってわかりやすく教えていただけないでしょうか？

お手数をお掛けして大変申し訳ありません。

お礼日時：2023/03/05 07:29

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/05 05:17

⑤

tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+・・・(1)
↓両辺を微分すると
{(z-π/2)tan(z)}'=a(0)+2a(1)(z-π/2)+3a(2)(z-π/2)^2+・・・(2)
↓両辺を微分すると
{(z-π/2)tan(z)}"=2a(1)+6a(2)(z-π/2)+・・・(3)
↓両辺を微分すると
{(z-π/2)tan(z)}"'=6a(2)+・・・(4)

(1)でz→π/2とすると
lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=a(-1)
a(-1)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
…
略(過去に書いた事があるのでそちらを参照願います)
…
a(-1)=-1

(2)でz→π/2とすると
lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}'=a(0)
a(0)=lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}'
…
略(過去に書いた事があるのでそちらを参照願います)
…
a(0)=0

(3)でz→π/2とすると
lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}"=2a(1)
↓両辺を2で割ると
(1/2)lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}"=a(1)
a(1)=(1/2)lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}"
…
略(過去に書いた事があるのでそちらを参照願います)
…
a(1)=1/3

(4)でz→π/2とすると
lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}"'=6a(2)
↓両辺を6で割ると
(1/6)lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}"'=a(2)
a(2)=(1/6)lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}"'
…
略(過去に書いた事があるのでそちらを参照願います)
…
a(2)=0

…

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dx)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
を
求めればよい

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。
あの、ちなみに

(1)でz→π/2とすると
lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=a(-1)
a(-1)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
…
略(過去に書いた事があるのでそちらを参照願います)
…
a(-1)=-1

の略は何年の何月何日の時間帯に書かれましたでしょうか。
確認したいため、どうかよろしくお願い致します。

ちにみに、a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzで、a(n)を求めるのは難しいでしょうか？

お礼日時：2023/03/05 07:33

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/05 04:50

④

z=π/2+0.001とは何にも関係ありません

tan(z)を
z=π/2を中心とする
ローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたというのも間違いです

tan(z)を
z=π/2を中心とする
ローラン展開して

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・

となるのが正しいのです

z=π/2ではtan(z)のローラン展開の式が=0になるのではなく∞になるのです

あなたが
z=π/2+0.001を代入したかったから
z=π/2+0.001を代入したのです

z=π/2+0.001を代入したからといって
z=π/2ではtan(z)のローラン展開の式が∞になることにはかわりはありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・は間違いだったのですね。
ちなみに、なぜ間違いなのでしょうか？

なぜ正しい式はtan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・
なのでしょうか？
どうやって導いたの過程の計算を教えて下さい。

最後にz=π/2を中心に展開したローラン展開のzにz=π/2を代入してしまったら式自体の分母が0というか無限になり近似値は求まらないため、あえてz=π/2+0.001とましたが、
仮にz=π/2を中心に展開したローラン展開のzにz=π/2+0.001を代入して、無限になる前に程よい項で近似値を得ようと考えたのですが、それでも良いでしょうか？

また、z=π/2を中心にローラン展開したtan(z)のローラン展開の式は「分母」が0になるため、∞になるのですね？

お礼日時：2023/03/05 07:42

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/03 20:16

訂正します

z=π/2+0.001とは何にも関係無いというのは正しいのですが

tan(z)を
z=π/2を中心とする
ローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたというのも間違いでした

tan(z)を
z=π/2を中心とする
ローラン展開して

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+・・・

となるのが正しく
n≦-2の時a(n)=0
a(-1)=-1
a(0)=0
a(1)=1/3
a(2)=0
となるから

tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・・

この回答へのお礼

②に関して
今まで何度もやってきたz=1を中心とし半径rの円周上での話だったが、
今回はz=-1を中心とし半径rの円周上での話であるため頂いた解答の②の過程の計算より{z;|z+1|=r}となるとわかりました。


③に関して
今まで何度もやってきたz=1を中心とし半径rの円周上でのi)0<r<2やi)r>2での話のようなものであると思いますが、
過去に教えていただいた

「i)0<r<2
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2

ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2」
のように、

今回のz=-1を中心とし半径rの円周上で場合わけは

「i)0<r<2
中心-1半径rの円
|z+1|=r
の内側 |z+1l<r<2

ii)r>2の場合
中心-1半径r>2の円
|z+1|=r
の内側
|z+1|<r>2」

となるわけでしょうか？


④ z=π/2+0.001について、

tan(z)を
z=π/2を中心とする
ローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
と展開しましたが、
z=π/2ではtan(z)のローラン展開の式が=0になってしまうため、限りなくz=π/2に違い z=π/2+0.001を代入したとわかりました。


⑤(a(-1)=-1、a(0)=0、a(1)=1/3、a(2)=0)
の求め方について、

a(-1)=-1
a(0)=0
a(1)=1/3
a(2)=0
をどうやって求めたのか過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2023/03/04 02:55

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/03 20:03

z=π/2+0.001として、

tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたのではありません

tan(z)を
z=π/2を中心とする
ローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたのです

z=π/2+0.001とは何にも関係ありません

質問を訂正願います

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/03 19:58

③

0<r<2
z∈{z;|z+1|=r}
の場合
0<r=|z+1|だから
0<r=|z+1|=r<2
0<|z+1|<2

z=-1の場合
|z+1|=|-1+1|=0だから
|z+1|=0
だから

-1は{z;|z+1|=r}の要素ではありません

z=1の場合
|z+1|=|1+1|=2だから
|z+1|=2
だから

1は{z;|z+1|=r}の要素ではありません

0<r<2
{z;|z+1|=r}

だから

半径2のrではありません

rは2より小さい