複素解析の問題です。 この2問が分かりません。 どなたか詳しく教えて欲しいです。 個人的にはe^zに

複素解析の問題です。
この2問が分かりません。
どなたか詳しく教えて欲しいです。
個人的にはe^zに持っていくように思いますが手詰まりです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/04 11:05

e^z=Σ_{n=0～∞}z^n/n!

e^(-z)=Σ_{n=0～∞}(-z)^n/n!

(1)
sinh(z)/z^3
=(e^z-e^{-z})/(2z^3)
=Σ_{n=0～∞}{z^n-(-z)^n}/{2(n!)z^3}
=1/z^2+1/3!+z^2/5!+z^4/7!+z^6/9!+…+z^{2k}/(2k+3)!+…
=Σ_{n=-1～∞}z^{2n}/(2n+3)!

(2)
z^3cosh(1/z)
=z^3(e^{1/z}+e^{-1/z})/2
=Σ_{n=0～∞}z^3{(1/z^n)+(-1/z)^n}/{2(n!)}
=z^3/2+z/2!+1/(4!z)+1/(6!z^3)+1/(8!z^5)+…+z^{3-2k}/(2k)!+…
=Σ_{n=0～∞}z^{3-2n}/(2n)!

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/06/28 14:36

e^zやe^-zの展開がわかるのなら

（1）sinhz＝(1/2i)(e^z－e^-z)の展開を求めて（1/z³）をかけたらいいし
（2）coshz＝（1/2)(e^z＋e^-z)の展開を求めてzのかわりに1/zとおきかえ
　　てさらにz³をかけるだけです。