場合の数、確率 29 導入問題 ( 円周上の鋭角三角形)

導入問題

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円周上を12等分する点がある。この12個の点から適当に3個の点を選んで三角形を作る。 これが鋭角三角形になる確率を求めよ。

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本題

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13522325.html

この問題の導入問題として提示した

鋭角三角形になる確率

直角三角形と鈍角三角形を引いて考えるでは

とても、本題に応用出来ない

そこで、具体的に、その他の方法で導入問題を考えることにした

只今、試行錯誤中

識者の方のアプローチも教えて下さい

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from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  以下、私の考察、探求です
  
  ご意見いただければ幸いです。
  
  ____________________________________________
  
  https://imgur.com/a/pvbKjfd
  
  __________________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/07/06 19:32

• 

  教授の考え方で意味が掴めない箇所があります
  
  _____________________________
  
  2nを3つの自然数x,y,zに分ける分け方
  2n-3を3つの整数x-1,y-1,z-1に分ける分け方
  (2n-1)C2=(2n-1)(2n-2)/2=
  
  (2n-1)(n-1)
  通り
  
  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
  
  鋭角3角形になる場合の数は
  2≦x≦n-1,2≦y≦n-1,2≦z≦n-1,x+y+z=2nとなる分け方
  Σ_{k=1～n-2}k=(n-2)(n-1)/2通り
  
  __________________________________'''
  
  
  出来るだけ詳しく教えて下さい
  
  我儘言ってごめんなさい
  
  よろしくお願い申し上げます。
  
  
  _________________________________
  
  from minamino

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/09 09:11

• 

  興味深い記事見つけました
  
  以下
  
  __________________________________________
  
  3点の選び方は18C3=816通り
  このうち、直角三角形になる選び方は、向かい合わせの点+もう一点を選べばいいので、9×16=144通り
  よって、鋭角三角形と鈍角三角形を足すと816-144=672通り
  
  ここで、それぞれの鋭角三角形について「どれか一つの頂点を向かい合わせの位置に移動する」という操作を行うと、鈍角三角形になります。
  頂点は3つあるので、1つの鋭角三角形から、鈍角三角形が3つ作れることになります。
  つまり、鋭角三角形と鈍角三角形の割合は1:3なので、鋭角三角形は672/(1+3)=168通り
  
  よって鋭角三角形になる確率は168/816=7/34です。
  
  ____________________________________________

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/09 09:18

• 

  直角三角形の個数だけに着目した
  確かに興味深い記事ですが
  
  奇数等分で直角三角形は作れません
  
  うーん
  
  困った
  
  _____________________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/07/09 09:35

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/09 05:08

円周上を2n等分する

2n個の点から
無作為に3点を選んで
△ABCを作るとき
180/(2n)=90/n
∠A=x(90/n)
∠B=y(90/n)
∠C=z(90/n)
x,y,zは自然数
x+y+z=2n

全事象の場合の数は
2nを3つの自然数x,y,zに分ける分け方
2n-3を3つの整数x-1,y-1,z-1に分ける分け方
(2n-1)C2=(2n-1)(2n-2)/2=

(2n-1)(n-1)
通り

鋭角3角形になる場合の数は
2≦x≦n-1,2≦y≦n-1,2≦z≦n-1,x+y+z=2nとなる分け方
Σ_{k=1～n-2}k=

(n-2)(n-1)/2
通り

鋭角3角形になる確率は

{(n-2)(n-1)/2}/{(2n-1)(n-1)}
=
(n-2)/{2(2n-1)}

2n=18等分
n=9の場合

全事象の場合の数は(2n-1)(n-1)=
17*8=136

288
378,387
468,477,486
558,567,576,585
648,657,666,675,684
738,747,756,765,774,783
828,837,846,855,864,873,882
鋭角3角形になる場合の数は(n-2)(n-1)/2
1+2+3+4+5+6+7=7*8/2=28

鋭角3角形になる確率は(n-2)/{2(2n-1)}
=
7/34

この回答へのお礼

流石教授、感動しました
凄すぎます

早速、2n+1 等分も教授の真似をしてみたのですが

上手くいきません

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13522325.html

途中式もいれてなるべく詳しく教えてください

また、鈍角ならどうなるのかも研究中です

偶数等分なら即座に解決ですが、奇数等分で悩んでいます

何卒よろしくお願い申し上げます。

_________________________

from minamino

お礼日時：2023/07/09 09:02

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/09 10:10

円周上を2n等分する

2n個の点から
無作為に3点を選んで
△ABCを作るとき
180/(2n)=90/n
∠A=x(90/n)
∠B=y(90/n)
∠C=z(90/n)
x,y,zは自然数
x+y+z=2n

全事象の場合の数は
2nを3つの自然数x,y,zに分ける分け方で
2n-3を3つの整数x-1,y-1,z-1に分ける分け方だから
(x-1)+(y-1)+(z-1)=2n-3
仕切りの数=2
(x-1)|(y-1)|(z-1)

(2n-3+2)C2
=(2n-1)C2
=(2n-1)(2n-2)/2
=
(2n-1)(n-1)
通り

鋭角3角形になる場合の数は
2≦x≦n-1,2≦y≦n-1,2≦z≦n-1,x+y+z=2nとなる分け方

(2,n-1,n-1)…1通り
(3,n-2,n-1),(3,n-1,n-2)…2通り
(4,n-3,n-1),(4,n-2,n-2),(4,n-1,n-3)…3通り
(5,n-4,n-1),(5,n-3,n-2),(5,n-2,n-3),(5,n-1,n-4)…4通り
…
(n-1,2,n-1),(n-1,3,n-2),(n-1,4,n-3),(n-1,5,n-4)…(n-1,n-1,2)…n-2通り

1+2+3+4+…+n-2
=Σ_{k=1～n-2}k
=
(n-2)(n-1)/2
通り

鋭角3角形になる確率は

{(n-2)(n-1)/2}/{(2n-1)(n-1)}
=
(n-2)/{2(2n-1)}

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/08 21:49

円周上を2n等分する

2n個の点から
無作為に3点を選んで
3角形を作るとき

全場合の数は

(2n-1)(n-1)

鋭角3角形になる場合の数は

(n-2)(n-1)/2

鋭角3角形になる確率は

(n-2)/{2(2n-1)}

n=6のとき
(n-2)/{2(2n-1)}=2/11

この回答へのお礼

教授こんばんは

頂いた回答読ませていただきました

気になった点を挙げさせて頂きます。

鋭角3角形になる場合の数は、(n-2)(n-1)/2　…①

これはどの様に導かれたのか

説明を要すると思います。

鋭角3角形になる確率は、(n-2)/{2(2n-1)}

これも全事象を何にとって分母にしたのか？

説明を要します

以上２点が気になった所です

以上、宜しくお願い致します。

追伸

①が間違っていることは18 等分の場合など例にとればわかると思います


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from minamino

お礼日時：2023/07/09 01:59

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/08 10:42

180°/12=15°

15(2+5+5)=30°+75°+75°…3通り
15(3+4+5)=45°+60°+75°…3!=6通り
15(4+4+4)=60°+60°+60°…1通り
鋭角3角形になる場合3+6+1=10通り

3+3+6…3通り
1+5+6…6通り
2+4+6…6通り
直角3角形になる場合3+6+6=15通り

1+1+10…3通り
2+2+8…3通り
1+2+9…6通り
1+3+8…6通り
1+4+7…6通り
2+3+7…6通り
鈍角3角形になる場合3*2+6*4=30通り

鋭角三角形になる確率は
10/(10+15+30)
=10/55
=
2/11

この回答へのお礼

教授こんにちは。

興味深く読ませていただきました

ただ、一般化　2n 等分に活かせるでしょうか

https://imgur.com/a/auoU1K5

私の考え方

https://imgur.com/a/pvbKjfd

は、活かせる事ができます

2n 等分での教授の回答をお待ちしております。

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from minamino

お礼日時：2023/07/08 12:16