「タンクに注ぐ水道の流量と、タンク内の水の体積の変化」をグラフで表すとどのようになると思いますか？

締切済

質問者：は-たた
質問日時：2023/07/10 21:17
回答数：6件

「タンクに注ぐ水道の流量と、タンク内の水の体積の変化」
をグラフで表すとどのようになると思いますか？
微分法が使われているのでしょうか？

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回答 (6件)

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No.6

回答者： yhr2
回答日時：2023/07/15 11:45

「タンクに注ぐ水道の流量と、タンク内の水の体積の変化」のグラフではなく、

・「タンクに注ぐ水道の流量」（縦軸）と『時間』（横軸）のグラフ
・「タンク内の水の体積」（縦軸）と『時間』（横軸）のグラフ
の2つのグラフの関係、ということですよね？
そうでないと「微分」の意味が分からない。

「タンクに注ぐ水道の流量」（単位時間当たりの体積）を時間で積分すれば「タンク内の水の体積」になります。（初期条件を与える必要はありますが）

逆にいえば、「タンク内の水の体積」の時間微分が、その瞬間の「タンクに注ぐ水道の流量」になります。
「タンク内の水の体積」の変化（時間微分）が一定（横軸を時間、縦軸を体積にしたグラフが直線）であれば、「タンクに注ぐ水道の流量」は時間に対して一定であることになります。
横軸を時間、縦軸を体積にしたグラフが曲線であれば、その各々の時間の接線の傾きが「タンクに注ぐ水道の流量」になります。

グラフに「微分法が使われている」のではなくて、「タンク内の水の体積」を時間で微分したものが、「タンクに注ぐ水道の流量」に相当する、という関係である、ということです。
2つのグラフがあって、「一方を微分したものが他方のグラフになる」という関係になるのです。

一方が「タンク内の水の体積」の関数
　y = Q(t)
のグラフであるときに、他方の「タンクに注ぐ水道の流量」は
　y = F(t) = dQ/dt
になるということ。
逆にいえば
　Q(t) = ∫[t1→t2]F(t)dt + Q0
（Q0 は t=t1 のときのタンク内の体積）
という関係です。

試しに、「タンクに注ぐ水道の流量」が
・「正」で一定の場合
・「負」で一定の場合（これは「タンクから抜き取る流量」に相当）
・時間の経過とともに「階段状」に変化する場合
・時間経過で任意に変化する場合（二次曲線とか、三角関数とかを自分で仮定して下さい）
の場合のグラフを自分で書いてみてください。
「論より証拠」です。

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No.5

回答者： stomachman
回答日時：2023/07/12 16:40

グラフで表すということは、横軸・縦軸にそれぞれ「タンクに注ぐ水道の流量」と「タンク内の水の体積の変化」を取ってプロットするということ。

様々な「タンクに注ぐ水道の流量」に応じてそれぞれ「タンク内の水の体積の変化」がどうなるかをいっぱい調べて、点を打っていくわけです。
　ところで、「タンクに注ぐ水道の流量」というのは、瞬間ごとに単位[L/s]で表されるはっきりした数値なのだろう。しかし「タンク内の水の体積の変化」をどうやって測るんだかがはっきりしない。タンクが漏れも溢れもしないとしても、水面が揺れるものをどうやって体積を測る？たとえばタンクの重量を測ったって、揺れの振動や流入する水の衝撃の影響は消えない。だとすると、タンクに流入した水の流量を瞬間ごとに測るしかないんじゃないかしらん。ならば「タンクに注ぐ水道の流量」と「タンク内の水の体積の変化」、両者は全く同じものですね。すると、

> どのようになると思いますか

って、問うまでもなく明らかです。

> 微分法が使われているのでしょうか？

一体どこに？

　もしかして「実は、底に穴があいているタンクの話でした」というオチなのかしらん。その場合には「測定した瞬間に、タンクにどれだけ水が入っているか」によってグラフが全然違ってきます。