確率統計の範囲でベン図を書いた時に重なってたら独立って判断していいんですか？また3つの場合でも変わん

確率統計の範囲でベン図を書いた時に重なってたら独立って判断していいんですか？また3つの場合でも変わんないですか？

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/30 23:02

具体例で説明しましょう。

[1] サイコロを1回振って出た目xが「x∈{1,2,3}である」をA, 「x∈{1,3,5}である」をBとします。

　すると、A∩B = {1,3} だから、AとBが「重なっている」例になっています。
　「重なっている」を言い換えれば「A,Bが両方生じる確率は0ではない」ということであり、実際：
　　P(A∩B) = 1/3
ですね。
　さて、もしA, Bが独立なら：AとBが両方生じる確率は
　　P(A∩B) = P(A)P(B)
となるわけですが：
　Aが生じる確率P(A)、Bが生じる確率P(B)は
　　P(A) = P(B) = 1/2
なので、
　　P(A∩B) = 1/3 ≠ P(A)P(B) = 1/4
つまり、AとBは独立ではない。
　つまりこれは「重なっていて、独立でない」という例です。

[2] サイコロを1回振って出た目xが「x∈{1,2,3}である」をA, 「x∈{2.4}である」をBとします。

　すると、A∩B = {2} だから、AとBが「重なっている」例になっていて、
　　P(A∩B) = 1/6
です。
　　P(A) =1/2, P(B) = 1/3
なので、
　　P(A∩B) = 1/6 = P(A)P(B) = 1/6
つまり、AとBは独立。
　なので、
Bが生じたという条件付きでAが起こる条件付き確率は
　　P(A|B) = P(A) = 1/2
Aが生じたという条件付きでBが起こる条件付き確率は
　　P(B|A) = P(B) = 1/3
です。
　つまりこれは、「重なっていて、独立である」という例です。

[3] サイコロを1回振って出た目xが「x∈{1,2,3}である」をA, 「x∈{5,6}である」をBとします。

　すると、A∩B = ∅ だから、AとBが「重なっていない」例になっています。
　　P(A) =1/2, P(B) = 1/3
なので、
　　P(A∩B) = 0 ≠ P(A)P(B) = 1/6
つまり、AとBは独立ではない。

　一般に、AとBが「重なっていない」場合には（P(A)≠0かつP(B)≠0でありさえすれば）
　　P(A∩B) = 0 ≠ P(A)P(B)
だから、AとBが独立ではないのは当たり前です。

　結局、「重なっていないなら独立でない」は確実に言える。なのでその対偶、「独立なら重なっている」も言える。しかし逆は言えない。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/07/24 09:57

ベン図に重なり合いがあるとき、事象Aと事象Bは独立です。

男性か女性かを事象A、成年か未成年かを事象Bとしたとき、AとBは独立だって言いますよね。相手の事象に関係なく生起できるからです。

確率が不明だから、相関が不明だからそれは言えない、とか難癖付ける人はいません。

でも、コロナワクチンの副反応を考える時には、相関が重要になりますから、安易に独立だとは言えなくなります。

文脈で判断するとは、そういうことだと思います。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/07/23 19:58

#4です。

このご質問への回答は、「そのとおりです」

ベン図に重なり合いがあるとき、事象Aと事象Bは独立です。
理由は#5に書いた通りです。

以前の回答は、勘違いして、「重なった部分」のことを回答していました。
すみません。

ところで・・・、

確かに二値問題の生起確率の大小まで考えるべきだとのご回答（#2さん#3さん）もありますが、一般的には、相手の状態に関わらず生起できるのであれば、独立だとします。

その理由は、簡単に言うと、

エンドウ豆には、緑と黄色があり、シワがあるものと無いものがあるのですが、お互い無関係に生起します。つまり全ての組合せが生じ得ます。
ところが、各々の組合せの生起数は、優性遺伝の法則に従い比率が決まります。（メンデルの法則）

つまり、観測全体を対象にすると色とシワは従属なんですが、サンプル個々（豆１つぶ１つぶ）で見ると独立なのです。

どちらの立場を取るかは、文脈によります。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/07/23 19:18

#4です。

補足ですが、
ベン図に重なり合いがあるとき、事象Aと事象Bは独立ですが、

もし、事象Aの円と事象Bの円とが重なり合いが無いとき、事象Aは事象Bの余事象の時にしか生起しませんので、排他という従属となります。
つまり、Bが生起しているときは、Aは生起し得ないです。

言い換えれば、Bの余事象が生起している時にしか、Aは生起しませんので、従属です。

重なっていなければ独立だという、間違った回答がありましたので、悪しからず。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/07/23 17:21

P(A∩B)＝P(A)・P(B|A)

また、
P(A∩B)＝P(B)・P(A|B)
だから、
重なった部分は、事象Aおよび事象Bに関しては、従属です。

独立というのは、事象Aおよび事象Bが生起していても生起していなくても、無関係に生起しうることを言うのですが、重なった部分P(A∩B)は、事象Aおよび事象Bが生起しているときでないと生起しませんから従属です。

一方、もしその他の性別という事象P(C)を取り上げたとき、あなたが日本人で、かつ日本に居住しているという事象P(A∩B)は、性別とは独立（性別とは無関係に）に生起します。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/21 21:43

事象の集合Aと事象の集合Bが「重なっていない」というのは、Aの補集合を￢Aと書くことにすると、

　　B ⊂ ￢A
　　A ⊂ ￢B
である。すなわち、「AでないときだけBが起こる。BでないときだけAが起こる。両方とも起こらないかもしれない。でも、両方とも起こるということはない」。

つまり両者に相関があり、だから両者は独立ではない。

　しかし、重なっていれば独立か。いやそうは行きません。たとえば「Aであるときの方が、AでないときよりBが起こりやすい」
　　P(B|A)＞P(B|￢A)
ということがあれば、相関があるんだから、両者は独立ではない。
　
　というわけで、「重なっている」ということには、「これだけの情報じゃ、独立であるともないとも、まだ決まらない」という意味しかありません。

No.2 回答者： qas2021 回答日時： 2023/07/21 20:39

ベン図だけでは判断できません。

キチンと確率を求めてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/21 18:11

逆でしょう。

重なっていたら、その両方に関係するのだから独立ではありません。
重なっていなければ、互いに影響がないのだから「独立」。

３つの場合でも同じです。
重なっていなければ独立。