No.4ベストアンサー
- 回答日時:
まず、漸化式を解いてしまおう。
a[k]^2 + a[k+1]^2 = 2(a[k] + a[k+1] a[k]a[k+1])
を a[k+1] の二次方程式として解くと、
a[k+1] = a[k] + 1 ± √(4a[k] + 1).
a[k] > 0 なら
a[k] + 1 - √(4a[k] + 1) < a[k] < a[k] + 1 + √(4a[k] + 1)
となるから、 a[k] < a[k+1] の条件より
a[k+1] = a[k] + 1 + √(4a[k] + 1). ←①
a[k] = m(m+1) であれば、
a[k+1] = m(m+1) + 1 + √(4m(m+1) + 1)
= m(m+1) + 1 + √(4m^2+4m+1)
= m(m+1) + 1 + √((2m+1)^2)
= m^2 + m + 1 + (2m + 1)
= m^2 + 3m + 2
= (m+1)(m+2).
無事、a[k+1] も □(□+1) の形になっているのだった。
①の式には √ が入っているが、これで安心して
a[n] は正数列で間違いないと言える。(数学的帰納法で)
No.8
- 回答日時:
ちなみに
a[n+1]=a[n]+1±√(4a[n]+1)
とa[n]が整数ということから
4a[n]+1≧1 → a[n]≧0
また、a₁=0 とすると a₂=1, a₃=2±√5≠整数、なので
a₁>0
したがつて、a[n]>0
すると、a[n]は単調増加だから
a[n+1]=a[n]+1+√(4a[n]+1)
となる。
a[n+1]が正の整数となるには、正の整数bが存在して
√(4a[n]+1)=b
となる。つまり
4a[n]+1=b²
ところが、左辺は奇数だから、bも奇数で b=2m+1 とかけ
る。すると
4a[n]+1=(2m+1)²=4m²+4m+1 → a[n]=m(m+1)
ただし、mはnの関数。
No.6
- 回答日時:
#1さんのように、a[n+1]を解くと
a[n+1]=a[n]+1±√(4a[n]+1)
a[n]>0 とすると、a[n]<a[n+1] だから
a[n+1]=a[n]+1+√(4a[n]+1)
となる。
a₁=a(a+1) , a>0
が成り立つとすると
a₂=a(a+1)+√{4a(a+1)+1}=a²+a+(2a+1)=(a+1)(a+2)
となる。すると
a₃=((a+1)+1)((a+1)+2)=(a+2)(a+3)
がにりたち、順次帰納的に
a[n]=(a+n-1)(a+n)・・・・①
が成り立つ。
いま、
a₁=2021・2022=a(a+1)
だから、a=2021となり、①に入れて
a[n]=(2020+n)(2021+n)
となる。
No.3
- 回答日時:
面白い問題ですね。
「…を満たすとする」と言ってる内容を咀嚼してみる必要があります。
与えられた式は漸化式のようだけど、二次方程式になってます。だから、解は二つあるだろう。するとどちらかを選ばなくちゃ列ができないわけで、その選び方が a[n]<a[n+1]という条件です。
しかし、この二次方程式、a[n]より大きい解が出ないかもしれない。整数解があるかどうかすらも分からない。もちろん解が実数であるという保証もないから、 a[n]とa[n+1]との大小比較ができるのかどうかは、分からない。
というわけで、「…を満たすとする」とか言ってるけど、そんな話が本当に成立するのかどうか、まだ分からない。そんなものを、いきなり真に受けるわけには行かない。
ところで(1)は
∀n ∃q (a[n] = q(q+1))
と主張しているだけであって、nとqの関係については、もちろん何も言っていない。
ま、とりあえず問題設定の言うことを真に受けてみて、(1)に従って
a[n] = q(q+1)
であると仮定する。分かりやすいように
a[n+1] = x
と書けば「漸化式」は
x^2 - 2(q(q+1) + 1)x + (q(q+1))^2 - 2q(q+1) = 0
であり、左辺は
(x - (q+1)(q+2))(x - (q-1)q) = 0
と因数分解できるから、2つの整数解が得られた。
(q-1)q < q(q+1) < (q+1)(q+2)
だから
a[n+1] = (q+1)(q+2)
である。(で、もう一方の解はa[n-1]に他ならない。ともあれ、)
だから、整数qが
a[n] = q(q+1)
を満たすならば、
a[n+1] = (q+1)(q+2)
となる、ということはわかった。
これで、帰納法、すなわち
第1段 「P(0)」を示す。
第2段 「P(n)ならばP(n+1)」を示す。
のうち、第2段については証明できたわけで、だから、a[n]以降の全ての要素は(1)を満たす。
例えば
a[1] = 1×2
でやってみれば
x = 2×3, 0×1
という二つの解が出て、a[2] = 2×3。以降同様に a[n] = n(n+1)であることがわかる。
(2)番の問いは、そこで言うa[1]を、上記の「例えば」におけるa[2021]のことだと読み替えるだけだから、超簡単。
さて、残された問題は何かというと、(1)の第1段の証明。すなわち問題文の「…を満たすとする」が成り立つなら、必ず ∃q (a[1] = q(q+1)) である、ということの証明です。
これは背理法で、「∀q(a[1] ≠ q(q+1)) ならば、二次方程式の解α,βがどちらも整数でないか、どちらもa[1]より大きくない」を証明してもいい。
できるかな?
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