a[n]=Σ[k=0,n-1]a[k]+1,a[0]=1のときa[n]を求めよ

a[n]=a^nと仮定する。するとa^n=(1+a+a^2+・・・+a^(n-1))+1
これを解くとa=2

他に良い解法があったら教えていただけませんか？

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  a[n+1]-a[n]=a[n]-a[n-1]
  
  まではわかったのですが、次がわかりません。教えていただけませんか

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/12/23 01:15

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/23 01:09

差分をとる.

この回答へのお礼

計算間違えてました。

解けました。助かりました

お礼日時：2023/12/23 01:17

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/23 13:55

＞ a[n+1] - a[n] = a[n] - a[n-1]

＞ まではわかったのですが、

a[n+1] - a[n] = a[n] - a[n-1] には、なりませんよ。

問題の式が a[n] = ( Σ[k=0,n-1] a[k] ) + 1 であれば、
a[n+1] - a[n] = ( Σ[k=0,n] a[k] ) + 1 - { ( Σ[k=0,n-1] a[k] ) + 1 }
　　　　　　= a[n] で
a[n+1] = 2 a[n].
つまり、 a[n] は等比数列で a[n] = a[0] 2^n = 2^n.

問題の式が実は a[n] = Σ[k=0,n-1] (a[k] + 1) なのであれば、
a[n+1] - a[n] = Σ[k=0,n] (a[k] + 1) - Σ[k=0,n-1] (a[k] + 1)
　　　　　　= a[n] + 1 で
a[n+1] = 2 a[n] + 1.
これは a[n+1] + 1 = 2(a[n] + 1) と変形できるので、
a[n] + 1 が等比数列となって、 a[n] + 1 = (a[0] + 1) 2^n.
つまり a[n] = (1 + 1) 2^n - 1 = 2^(n+1) - 1.

問題はどっちなんだろう？ タイトルの書き方じゃ判らないけど。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/23 10:34

完全に余談になるが

a[n+1]-a[n]=a[n]-a[n-1]
という式は数列 {a[n]} の隣接 2項の差が一定であることを示している. つまりその場合
数列 {a[n]} は等差数列
なのだ.

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/23 04:51

a[0]=1

a[n]=Σ_{k=0～n-1}a[k]+1

a[n+1]=Σ_{k=0～n}a[k]+1
a[n+1]-a[n]=a[n]

a[n+1]=2a[n]

N=(非負整数の集合)
P(n)=[a[n]=2^n]
とすると
P(0)=[a[0]=2^0=1]は真
あるn∈Nに対してP(n)は真と仮定すると
a[n]=2^n
a[n+1]=2a[n]=2^(n+1)
だから
P(n+1)=[a[n+1]=2^(n+1)]も真だから
すべてのn∈Nに対して
a[n]=2^n