次の命題の対偶を教えて下さい。

次の命題、
p,qが有理数でp+q√2=0⇒p=q=0
の対偶を教えて下さい。
左辺は分かります。
pかつqは0の否定だから、
pまたはqは0で無い。
つまり、p≠0またはq≠0ですよね？
ですが、対偶の右辺がサッパリ分かりません。
是非是非宜しくお願い申し上げ致します！

No.7 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/07 17:11

ついでに書いておくか...

「p,qが有理数で（p≠0またはq≠0）」⇒ 「p+q√2≠0」
となるのは、元の
「p, qが有理数でp+q√2=0⇒p=q=0」というのを、一旦
『p, qが有理数なら、「p+q√2=0⇒p=q=0」』という風に変形して、中の「」の部分だけ対偶を取る、つまり
『p, qが有理数なら、「（p≠0またはq≠0）⇒p+q√2≠0」』という風に変える、さらに外側の仮定の部分を中にもってきて
「p,qが有理数で（p≠0またはq≠0）」⇒ 「p+q√2≠0」
と変形した、と考えると分かり易い

（一般に「(AかつB)⇒C」と「A⇒(B⇒C)」は同値）

この回答へのお礼

度々の御回答誠に有難う御座居ました。
元々の命題の書き方が悪いから、僕が訳分からなく成ってしまったんですね。
元々の命題は、
p,qが有理数でp+q√2=0⇒p=q=0
を書き換えると、
pは有理数かつqは有理数かつp+q√2=0⇒p=q=0
と、読み間違えたのですね？
そうじゃ無いんですね？
元の命題は、
p,qか有理数の場合、
p+q√2=0⇒p=q=0
何ですね？
つまり、p,qが有理数と言うのは、命題の大前提で、命題の左辺に含まれる訳では無いんですね？
良く分かりました。
有難う御座居ました。

お礼日時：2014/12/07 17:43

No.8 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/07 17:23

> #No,6さん

とりあえず、p=q=2というのが１’（p≠q または q≠0）や 2'（p≠q または p≠0）を満たしているが、１”．（p≠q）は満たしていないことを考えれば、何か違うことはわかるのでは...

この回答へのお礼

有難う御座居ました。

お礼日時：2014/12/07 17:35

No.6 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/12/07 16:58

>p+q√2=0⇒p=q=0

「p+q√2=0」は「＝」が一つだけですから、分かりやすいですね。

　問題となるのは、仰るように「p=q=0」です。これが何かということです。「pもqも0」ということは分かるんですが、それの否定が何かは、数学（論理学）では扱いにくい感じです。

「p=q=0」というのは等号が二つある数式ですから、ある種の略記と考えられます。それを一つ一つに分解すると、以下のようにいろいろ考えられます。

１．p=q かつ q=0
２．p=q かつ p=0
３．p=0 かつ q=0

　命題「AかつB」の否定は「Aでない、または、Bでない」です。それを、上記に当てはめて、具体的に否定を書きだしてみましょう。

１’．p≠q または q≠0
２’．p≠q または p≠0
３’．p≠0 または q≠0

　３’は割と分かりやすいんではないでしょうか。「pかq、どちらかは0でない」ということですね。そう考えて１’を確かめてみます。

　p≠qであれば、どちらかが0なら他方は0ではありませんから「pかq、どちらかは0でない」が直ちに成り立ちます。q≠0であれば、もちろん「pかq、どちらかは0でない」がqによって直ちに成り立ちます。

　しかし、よく考えると何か無駄です。p≠qだけでもいいし、q≠0だけでもいい。これは２’ではp≠0が１’と違っていますが、p≠qは共通です。２’もp≠qだけあればいい。

　どちらが無駄なのかを考えると、p≠qなら「pかq、どちらかは0でない」が成り立ちますが、p≠0では「p=0のときはダメなのか?」、q≠0なら「q=0のときはダメなのか？」という疑問が起こります。実際は、p=0ならq≠0であればいいし、q=0ならp≠0であればいい。そのどちらも言えているのが「p≠q」です。これだけでいいわけです。

　３’に立ち戻って考えると、「p≠0 または q≠0」というのは、１’と２’で無駄と切り捨てたものを使って条件を表していることに気が付きます。二つとも必要で、どちらかだけではいけません。

　ということは、以下の2通りあることが分かります。

１”．p≠q
２”．p≠0 または q≠0

　この二つのどちらも「p=q=0」の否定として使えます。命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」ですから、以下のように2通りあることになります。

対偶１「p≠q ⇒ p+q√2≠0」
対偶２「p≠0 ∨ q≠0 ⇒ p+q√2≠0」（「∨」は「または」の記号）

この回答へのお礼

有難う御座居ました。

お礼日時：2014/12/07 17:06

No.5 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/07 16:55

> p,qが有理数、かつ、p+q√2=0、の否定ですから、

> p,qが無理数、または、p+q√2≠0

ではなくて、「p,q（の両方）が有理数、という訳ではない、もしくはp+q√2=0でない」、だから既に書いた通り「pまたはqの（少なくとも）いずれか一方が有理数でない、もしくはp+q√2≠0」

普通に元の命題を
「pが有理数、かつqが有理数、かつp+q√2=0」ならば「p=0かつq=0」と分けて考えると分かり易い。「AかつB」の否定は「AでないかBでない（の少なくともどちらかが成り立つ）」、同様に「AかつBかつC」の否定は「AでないかBでないかCでないか（の少なくともどれかは成り立つ）」

この回答へのお礼

有難う御座居ました。

お礼日時：2014/12/07 17:09

No.4 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/07 16:43

「p,qが有理数で」の部分も含めて対偶を考えたいのなら、

『p≠0またはq≠0（の少なくとも一方が成り立つ）』ならば『pもしくはqの少なくとも一方は有理数でない、もしくはp+q√2≠0』

p=-√2, q = 1という場合はこの対偶と確かに矛盾しない。
この場合p≠0（ついでにq≠0）で、左辺の条件を満たしている。
一方p+q√2=0だけどpが無理数なので、『pもしくはqの少なくとも一方は有理数でない、もしくはp+q√2≠0』を満たしている。

この回答へのお礼

有難う御座居ました。

お礼日時：2014/12/07 17:21

No.3 回答者： info222_ 回答日時： 2014/12/07 15:59

p,qが有理数で「p≠0またはq≠0」⇒ p+q√2≠0

この回答へのお礼

御回答誠に有難う御座居ました。

お礼日時：2014/12/07 16:37

No.2 回答者： Mokuzo100nenn 回答日時： 2014/12/07 15:54

＞対偶に成ると、p,qが有理数では無くて、無理数に成る様な気がします。

それは気のせいです(笑)。

「p,qが有理数」は式を成立させるための定義ですから、対偶をとるときも同じ定義が有効になります。

この回答へのお礼

御回答誠に有難う御座居ます。
高校数学しか知ら無いもので、「定義」、と言われても、イマイチ理解出来ません。
すみません。
僕の対偶の右辺は、
p,qが有理数、かつ、p+q√2=0、の否定ですから、
p,qが無理数、または、p+q√2≠0
と、考えてしまいます。
根本的に、数学的世界が分かって無いのだと思います。
もう一息の所で、理解出来そうな気がします。
度々すみませんが、何とか御回答の程、宜しくお願い申し上げ致します！

お礼日時：2014/12/07 16:36

No.1 回答者： Mokuzo100nenn 回答日時： 2014/12/07 15:25

p＊q≠0⇒p+q√2≠0

この回答へのお礼

御回答誠に有難う御座居ました。
僕の質問の仕方が悪かったと思います。
対偶に成ると、p,qが有理数では無くて、無理数に成る様な気がします。
そうすると、対偶の左辺も、無理数に成るのでしょうか？
ここの所が良く分かりません。

お礼日時：2014/12/07 15:45